Упр.198 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Является ли арифметической прогрессией последовательность $$(a_n)$$, заданная формулой $$n$$-го члена:
1) $$a_n=-4n^2+5$$;
2) $$a_n=3n^2-2$$;
3) $$a_n=-3{,}5n$$;
4) $$a_n=7-0{,}8n$$;
5) $$a_n=\frac{4}{n+1}$$;
6) $$a_n=\frac{3n+1}{4}$$?
Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией, то есть постоянна ли разность $$d=a_{n+1}-a_n.$$
$$a_n=-4n+5$$
$$a_{n+1}=-4(n+1)+5=-4n+1$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(-4n+1)-(-4n+5)=-4$$
Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.
$$a_1=-4\cdot 1+5=1$$
$$a_n=3n^2-2$$
$$a_{n+1}=3(n+1)^2-2=3n^2+6n+1$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(3n^2+6n+1)-(3n^2-2)=6n+3$$
Разность зависит от $$n$$, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.
$$a_n=-3{,}5n$$
$$a_{n+1}=-3{,}5(n+1)=-3{,}5n-3{,}5$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(-3{,}5n-3{,}5)-(-3{,}5n)=-3{,}5$$
Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.
$$a_1=-3{,}5\cdot 1=-3{,}5$$
$$a_n=7-0{,}8n$$
$$a_{n+1}=7-0{,}8(n+1)=6{,}2-0{,}8n$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(6{,}2-0{,}8n)-(7-0{,}8n)=-0{,}8$$
Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.
$$a_1=7-0{,}8\cdot 1=6{,}2$$
$$a_n=\frac{4}{n+1}$$
$$a_{n+1}=\frac{4}{n+2}$$
$$d=a_{n+1}-a_n=\frac{4}{n+2}-\frac{4}{n+1}=\frac{4(n+1)-4(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{-4}{(n+2)(n+1)}$$
Разность зависит от $$n$$, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.
$$a_n=\frac{3n+1}{4}$$
$$a_{n+1}=\frac{3(n+1)+1}{4}=\frac{3n+4}{4}$$
$$d=a_{n+1}-a_n=\frac{3n+4}{4}-\frac{3n+1}{4}=\frac{3}{4}=0{,}75$$
Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.
$$a_1=\frac{3\cdot 1+1}{4}=1$$
Ответ
1) является; $$a_1=1$$, $$d=-4$$; 2) не является; 3) является; $$a_1=-3{,}5$$, $$d=-3{,}5$$; 4) является; $$a_1=6{,}2$$, $$d=-0{,}8$$; 5) не является; 6) является; $$a_1=1$$, $$d=0{,}75$$.
