Упр.198 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Является ли арифметической прогрессией последовательность $$(a_n)$$, заданная формулой $$n$$-го члена:
- $$a_n=7-3n$$;
- $$a_n=2n^2+1$$;
- $$a_n=0{,}8n$$;
- $$a_n=20{,}64n+23$$;
- $$a_n=\frac{n-1}{n+1}$$?
1) $$a_n=7-3n$$
$$a_{n+1}=7-3(n+1)=7-3n-3=4-3n$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(4-3n)-(7-3n)=-3$$
Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией, где $$a_1=7-3\cdot 1=4$$, $$d=-3$$.
2) $$a_n=2n^2+1$$
$$a_{n+1}=2(n+1)^2+1=2(n^2+2n+1)+1=2n^2+4n+3$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(2n^2+4n+3)-(2n^2+1)=4n+2$$
Разность зависит от $$n$$, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.
3) $$a_n=0{,}8n$$
$$a_{n+1}=0{,}8(n+1)=0{,}8n+0{,}8$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(0{,}8n+0{,}8)-0{,}8n=0{,}8$$
Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией, где $$a_1=0{,}8$$, $$d=0{,}8$$.
4) $$a_n=0{,}64n+23$$
$$a_{n+1}=0{,}64(n+1)+23=0{,}64n+0{,}64+23=0{,}64n+23{,}64$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(0{,}64n+23{,}64)-(0{,}64n+23)=0{,}64$$
Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией, где $$a_1=0{,}64\cdot 1+23=23{,}64$$, $$d=0{,}64$$.
5) $$a_n=\dfrac{n-1}{n+1}$$
$$a_{n+1}=\dfrac{(n+1)-1}{(n+1)+1}=\dfrac{n}{n+2}$$
$$d=a_{n+1}-a_n=\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{n-1}{n+1} =\dfrac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$$
$$=\dfrac{n^2+n-(n^2+n-2)}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{2}{(n+2)(n+1)}$$
Разность зависит от $$n$$, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.
6) $$b_n$$
Недостаточно данных для определения, является ли эта последовательность арифметической прогрессией.
Ответ
1) является; $$a_1=4$$, $$d=-3$$;
2) не является;
3) является; $$a_1=0{,}8$$, $$d=0{,}8$$;
4) является; $$a_1=23{,}64$$, $$d=0{,}64$$;
5) не является;
6) недостаточно данных.
