Упр.197 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если:
   1) $$a_3+a_5=-2$$ и $$a_7+a_{10}=4$$;
   2) $$a_2+a_6=124$$ и $$a_2\cdot a_3=54$$.

1) Пусть $$a_n=a_1+d(n-1).$$ Тогда

$$a_3=a_1+2d,\quad a_5=a_1+4d,\quad a_7=a_1+6d,\quad a_{10}=a_1+9d.$$

Из условия получаем систему:

$$\begin{cases} (a_1+2d)+(a_1+4d)=-2,\\ (a_1+6d)+(a_1+9d)=4. \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2a_1+6d=-2,\\ 2a_1+15d=4. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$9d=6,\quad d=\frac{2}{3}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+6\cdot\frac{2}{3}=-2,$$
$$2a_1+4=-2,$$
$$2a_1=-6,$$
$$a_1=-3.$$

2) Аналогично:

$$a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_6=a_1+5d.$$

Из условия:

$$\begin{cases} (a_1+d)+(a_1+5d)=24,\\ (a_1+d)(a_1+2d)=54. \end{cases}$$

$$2a_1+6d=24,\quad a_1=12-3d.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(12-3d+d)(12-3d+2d)=54,$$
$$(12-2d)(12-d)=54.$$

$$144-12d-24d+2d^2=54,$$
$$2d^2-36d+90=0,$$
$$d^2-18d+45=0.$$

$$D=18^2-4\cdot45=324-180=144,$$
$$d_{1,2}=\frac{18\pm12}{2}.$$

$$d_1=3,\quad d_2=15.$$

Тогда

$$a_1=12-3\cdot3=3,$$
$$a_1=12-3\cdot15=-33.$$

Ответ

1) $$a_1=-3,\ d=\frac{2}{3}.$$ 2) $$a_1=3,\ d=3$$ или $$a_1=-33,\ d=15.$$