Упр.197 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если:
   1) $$a_5+a_{13}=35$$ и $$a_4+a_8=29$$;
   2) $$a_4+a_{10}=16$$ и $$a_2\cdot a_6=-12$$.

1) Запишем данные члены арифметической прогрессии через $$a_1$$ и $$d$$:

$$a_5=a_1+4d,\quad a_{13}=a_1+12d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_8=a_1+7d.$$

Тогда

$$(a_1+4d)+(a_1+12d)=38,$$

$$2a_1+16d=38,$$

$$a_1=19-8d.$$

Из второго условия:

$$(a_1+3d)+(a_1+7d)=29,$$

$$2a_1+10d=29.$$

Подставим $$a_1=19-8d$$:

$$2(19-8d)+10d=29,$$

$$38-16d+10d=29,$$

$$6d=9,$$

$$d=1{,}5.$$

Тогда

$$a_1=19-8\cdot1{,}5=7.$$

2) Найдём $$a_1$$ и $$d$$ из условий:

$$a_4=a_1+3d,\quad a_{10}=a_1+9d,\quad a_2=a_1+d,\quad a_6=a_1+5d.$$

Из первого уравнения:

$$(a_1+3d)+(a_1+9d)=16,$$

$$2a_1+12d=16,$$

$$a_1=8-6d.$$

Из второго уравнения:

$$(a_1+d)(a_1+5d)=-12.$$

Подставим $$a_1=8-6d$$:

$$(8-5d)(8-d)=-12,$$

$$64-8d-40d+5d^2=-12,$$

$$5d^2-48d+76=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=48^2-4\cdot5\cdot76=784,$$

$$d=\frac{48\pm 28}{10}.$$

Получаем:

$$d=2 \quad \text{или} \quad d=7{,}6.$$

Тогда

$$a_1=8-6\cdot2=-4,$$

или

$$a_1=8-6\cdot7{,}6=-37{,}6.$$

Ответ

1) $$a_1=7,\ d=1{,}5.$$
2) $$a_1=-4,\ d=2$$ или $$a_1=-37{,}6,\ d=7{,}6.$$