Упр.197 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если:
1) $$a_4+a_8=35$$ и $$a_3+a_{21}=65$$;
2) $$a_5+a_9=42$$ и $$a_3\cdot a_{10}=165$$.

1) Пусть $$a_n=a_1+d(n-1).$$ Тогда

$$a_4=a_1+3d,\quad a_8=a_1+7d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_{21}=a_1+20d.$$

Из условия получаем систему:

$$\begin{cases} (a_1+3d)+(a_1+7d)=35,\\ (a_1+2d)+(a_1+20d)=65. \end{cases}$$

Упростим:

$$\begin{cases} 2a_1+10d=35,\\ 2a_1+22d=65. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$12d=30,\quad d=2{,}5.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+10\cdot 2{,}5=35,$$

$$2a_1+25=35,$$

$$2a_1=10,\quad a_1=5.$$

2) Пусть снова $$a_n=a_1+d(n-1).$$ Тогда

$$a_5=a_1+4d,\quad a_9=a_1+8d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_{10}=a_1+9d.$$

Составим систему:

$$\begin{cases} (a_1+4d)+(a_1+8d)=42,\\ (a_1+2d)(a_1+9d)=165. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$2a_1+12d=42,\quad a_1=21-6d.$$

Подставим во второе:

$$(21-6d+2d)(21-6d+9d)=165,$$

$$(21-4d)(21+3d)=165.$$

Раскроем скобки:

$$441+63d-84d-12d^2=165,$$

$$12d^2+21d-276=0,$$

$$4d^2+7d-92=0.$$

Найдём корни:

$$D=7^2+4\cdot 4\cdot 92=49+1472=1521,$$

$$\sqrt{D}=39.$$

$$d=\frac{-7\pm 39}{8}.$$

Отсюда:

$$d_1=4,\quad d_2=-5{,}75.$$

Найдём соответствующие первые члены:

при $$d=4$$

$$a_1=21-6\cdot 4=-3;$$

при $$d=-5{,}75$$

$$a_1=21-6\cdot(-5{,}75)=55{,}5.$$

Ответ: 1) $$a_1=5,\ d=2{,}5$$; 2) $$a_1=-3,\ d=4$$ или $$a_1=55{,}5,\ d=-5{,}75$$.