Упр.146 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. По окружности двигаются в одном направлении две точки. Одна из них выполняет полный оборот на $$3\ \text{с}$$ дольше другой, а время между их последовательными встречами равно $$6\ \text{с}$$. За какое время каждая точка выполняет полный оборот?

Пусть $$x$$ и $$y$$ — угловые скорости точек, тогда время полного оборота равно соответственно $$\frac{360}{x}$$ и $$\frac{360}{y}$$ секунд.

По условию одна точка делает полный оборот на $$3$$ с дольше другой, а встречаются они каждые $$6$$ с. Значит, разность их времен полного оборота равна $$3$$, а за $$6$$ с более быстрая точка «обгоняет» медленную на один полный оборот:

$$\begin{cases} \frac{360}{y}-\frac{360}{x}=3,\\ \frac{360}{x}-\frac{360}{y}=6 \end{cases}$$

Удобнее ввести времена оборота: пусть $$t_1$$ — время более быстрой точки, $$t_2$$ — более медленной. Тогда

$$\begin{cases} t_2-t_1=3,\\ \frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}=\frac{1}{6} \end{cases}$$

Из первого уравнения $$t_2=t_1+3$$. Подставим во второе:

$$\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_1+3}=\frac{1}{6}$$

$$\frac{3}{t_1(t_1+3)}=\frac{1}{6}$$

$$t_1(t_1+3)=18$$

$$t_1^2+3t_1-18=0$$

$$(t_1-3)(t_1+6)=0$$

Так как время не может быть отрицательным, получаем $$t_1=3$$. Тогда

$$t_2=t_1+3=6.$$

Ответ: $$3$$ с; $$6$$ с.