Упр.146 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Две точки двигаются по окружности в одном направлении. Первая точка проходит окружность на 2 с быстрее второй и догоняет её через каждые 12 с. За какое время каждая точка проходит окружность?

Пусть $$x$$ град/с — угловая скорость первой точки, а $$y$$ град/с — угловая скорость второй точки. Тогда время прохождения окружности равно:

$$\frac{360}{x}$$ — для первой точки,

$$\frac{360}{y}$$ — для второй точки.

По условию первая точка проходит окружность на $$2$$ с быстрее второй и догоняет её каждые $$12$$ с. Значит,

$$\frac{360}{y}-\frac{360}{x}=2,$$

$$12x-12y=360.$$

Из второго уравнения получаем:

$$x-y=30,$$

то есть

$$y=x-30.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{360}{x-30}-\frac{360}{x}=2.$$

Умножим обе части на $$x(x-30)$$:

$$360x-360(x-30)=2x(x-30),$$

$$360x-360x+10800=2x^2-60x,$$

$$2x^2-60x-10800=0,$$

$$x^2-30x-5400=0.$$

Найдём корни:

$$D=30^2+4\cdot5400=900+21600=22500,$$

$$x=\frac{30\pm150}{2}.$$

Получаем $$x_1=-60$$ и $$x_2=90$$. Так как скорость не может быть отрицательной, то

$$x=90,$$

$$y=90-30=60.$$

Тогда время прохождения окружности:

$$\frac{360}{90}=4\text{ с},$$

$$\frac{360}{60}=6\text{ с}.$$

Ответ: $$4$$ с; $$6$$ с.