Упр.144 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Из городов А и В, расстояние между которыми равно $$280\ \text{км}$$, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Первый автомобиль приехал в город В через $$1\ \text{ч}\ 30\ \text{мин}$$ после встречи, а второй в город А — через $$2\ \text{ч}\ 40\ \text{мин}$$ после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый автомобиль и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Обозначим скорость первого автомобиля через $$x$$ км/ч, а второго — через $$y$$ км/ч. Пусть через $$t$$ ч после начала движения они встретились.

Тогда до встречи первый автомобиль проехал $$tx$$ км, а второй — $$ty$$ км. После встречи первый автомобиль доехал до города $$B$$ за $$1{,}5$$ ч, значит, он проехал $$\frac{3}{2}x$$ км. Второй автомобиль после встречи доехал до города $$A$$ за $$2\frac{2}{3}$$ ч, значит, он проехал $$\frac{8}{3}y$$ км.

Составим систему:

$$\begin{cases} tx+ty=280,\\ \frac{3}{2}x=ty,\\ \frac{8}{3}y=tx. \end{cases}$$

Из второго и третьего уравнений найдём связь между $$x$$ и $$y$$:

$$\frac{\frac{8}{3}y}{\frac{3}{2}x}=\frac{tx}{ty} \Rightarrow \frac{16y}{9x}=\frac{x}{y} \Rightarrow 16y^2=9x^2 \Rightarrow 4y=3x.$$

Значит, $$x=\frac{4}{3}y$$. Подставим в первое уравнение:

$$t\cdot \frac{4}{3}y+ty=280$$

Но удобнее сначала выразить $$tx$$ и $$ty$$ из второго и третьего уравнений:

$$ty=\frac{3}{2}x,\qquad tx=\frac{8}{3}y.$$

Из равенства $$4y=3x$$ получаем $$x=80$$, $$y=60$$. Тогда

$$tx=\frac{8}{3}\cdot 60=160,$$

следовательно,

$$t=\frac{160}{80}=2.$$

Проверка: $$2\cdot 80+2\cdot 60=160+120=280$$ — верно.

Ответ: $$80$$ км/ч; $$60$$ км/ч; $$2$$ часа.