Упр.141 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 6 ч 40 мин. Если же сначала первый экскаватор выроет самостоятельно $$\frac{4}{5}$$ котлована, а затем второй — оставшуюся часть котлована, то вся работа будет выполнена за 12 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая отдельно?

Пусть $$x$$ ч и $$y$$ ч — время, за которое первый и второй экскаваторы могут выполнить работу, работая отдельно. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$ котлована в час.

По условию, вместе они выполняют работу за $$6\text{ ч }40\text{ мин} = 6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$$ ч, значит:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{20}.$$

Если первый экскаватор выроет $$\frac{4}{5}$$ котлована, а второй завершит работу, то на это уйдёт $$12$$ ч. Тогда

$$\frac{4}{5}x+\frac{1}{5}y=12.$$

Умножим второе уравнение на $$5$$:

$$4x+y=60,$$

откуда

$$y=60-4x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{60-4x}=\frac{3}{20}.$$

Умножим обе части на $$20x(60-4x)$$:

$$20(60-4x)+20x=3x(60-4x).$$

Раскроем скобки:

$$1200-80x+20x=180x-12x^2,$$

$$12x^2-240x+1200=0,$$

$$x^2-20x+100=0,$$

$$\left(x-10\right)^2=0.$$

Следовательно, $$x=10$$. Тогда

$$y=60-4\cdot 10=20.$$

Ответ: $$10$$ ч; $$20$$ ч.