Упр.140 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Из двух сёл $$A$$ и $$B$$, расстояние между которыми равно $$54$$ км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились в селе $$C$$, расстояние от которого до $$A$$ составляет $$\frac{1}{3}$$ расстояния между $$A$$ и $$B$$, причём первый велосипедист выехал из $$B$$ на $$54$$ мин раньше, чем второй велосипедист выехал из $$A$$. Если бы велосипедисты выехали одновременно, то они встретились бы через $$2$$ ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого велосипедиста, а $$y$$ км/ч — скорость второго.

Тогда расстояния, которые они проехали до встречи, равны:

$$\frac{36}{x}$$ — время движения первого велосипедиста, так как он проехал $$\frac{2}{3} \cdot 54 = 36$$ км;

$$\frac{18}{y}$$ — время движения второго велосипедиста, так как он проехал $$\frac{1}{3} \cdot 54 = 18$$ км.

Если бы велосипедисты выехали одновременно, то встретились бы через $$2$$ ч, значит,

$$x+y=27.$$

Первый велосипедист выехал на $$54$$ мин раньше, то есть на $$\frac{54}{60}=\frac{9}{10}$$ ч раньше. Поэтому разность времен движения до встречи равна $$\frac{9}{10}$$ ч:

$$\frac{36}{x}-\frac{18}{y}=\frac{9}{10}.$$

Подставим $$y=27-x$$:

$$\frac{36}{x}-\frac{18}{27-x}=\frac{9}{10}.$$

Умножим на $$10x(27-x)$$:

$$360(27-x)-180x=9x(27-x).$$

$$9720-360x-180x=243x-9x^2.$$

$$9x^2-783x+9720=0.$$

Разделим на $$9$$:

$$x^2-87x+1080=0.$$

$$D=87^2-4\cdot1080=7569-4320=3249,$$

$$\sqrt{D}=57.$$

Тогда

$$x=\frac{87\pm57}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=72,\quad x_2=15.$$

Так как $$x+y=27$$, то возможна только пара $$x=12$$ и $$y=15$$, либо наоборот. Проверим по смыслу: первый велосипедист ехал дольше, значит его скорость меньше. Следовательно,

$$x=12,\quad y=15.$$

Ответ

$$12\text{ км/ч};\ 15\text{ км/ч}.$$