Упр.139 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Катер проходит 66 км по течению реки и 54 км против течения за 6 ч. Этот катер проходит 44 км по течению на 3 ч быстрее, чем 90 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера, а $$y$$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера:

по течению — $$x+y$$ км/ч,

против течения — $$x-y$$ км/ч.

По условию составим систему:

$$\begin{cases} \dfrac{66}{x+y}+\dfrac{54}{x-y}=6,\\[6pt] \dfrac{90}{x-y}-\dfrac{44}{x+y}=3. \end{cases}$$

Введём замену:

$$u=\dfrac{1}{x+y}, \qquad t=\dfrac{1}{x-y}.$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} 66u+54t=6,\\ 90t-44u=3. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$t$$:

$$t=\dfrac{6-66u}{54}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$90\cdot \dfrac{6-66u}{54}-44u=3.$$

Умножим на $$270$$:

$$5(6-66u)=3(3+44u).$$

$$30-330u=9+132u,$$

$$462u=21,$$

$$u=\dfrac{21}{462}=\dfrac{1}{22}.$$

Тогда

$$t=\dfrac{3+44\cdot \frac{1}{22}}{90} =\dfrac{3+2}{90} =\dfrac{5}{90} =\dfrac{1}{18}.$$

Возвращаемся к замене:

$$\begin{cases} \dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{22},\\[6pt] \dfrac{1}{x-y}=\dfrac{1}{18}. \end{cases}$$

Отсюда

$$x+y=22,\qquad x-y=18.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=22,\\ x-y=18. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=40,\qquad x=20.$$

Тогда

$$y=22-20=2.$$

Ответ: $$20$$ км/ч; $$2$$ км/ч.