Упр.136 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Два поезда отправились одновременно от станций А и В навстречу друг другу, и после встречи каждый продолжил движение в первоначальном направлении. Первый из них, скорость которого на $$10\ \text{км/ч}$$ меньше скорости второго, прибыл на станцию В через $$3\ \text{ч}\ 36\ \text{мин}$$ после встречи, а второй на станцию А — через $$2\ \text{ч}\ 30\ \text{мин}$$. Найдите скорость, с которой двигался каждый поезд. Через какое время после начала движения состоялась встреча?
Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого поезда, тогда скорость второго поезда равна $$x+10$$ км/ч. Обозначим через $$t$$ ч время до встречи.
Тогда до встречи первый поезд прошёл $$tx$$ км, а второй — $$t(x+10)$$ км.
После встречи первый поезд шёл до станции $$B$$ $$3\text{ ч }36\text{ мин}=\frac{18}{5}$$ ч, значит, прошёл $$\frac{18}{5}x$$ км. Второй поезд шёл до станции $$A$$ $$2\text{ ч }30\text{ мин}=\frac{5}{2}$$ ч, значит, прошёл $$\frac{5}{2}(x+10)$$ км.
После встречи каждый поезд прошёл то же расстояние, которое другой поезд прошёл до встречи, поэтому составим систему:
$$\begin{cases} \frac{18}{5}x=t(x+10),\\ \frac{5}{2}(x+10)=tx. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\frac{18}{5}x=tx+10t \\ x\left(\frac{18}{5}-t\right)=10t \\ x=\frac{10t}{\frac{18}{5}-t}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{5}{2}\left(\frac{10t}{\frac{18}{5}-t}+10\right)=t\cdot \frac{10t}{\frac{18}{5}-t}.$$
Умножим на $$\frac{18}{5}-t$$:
$$\frac{5}{2}(10t)+\frac{5}{2}\cdot 10\left(\frac{18}{5}-t\right)=10t^2.$$
$$25t+50\left(\frac{18}{5}-t\right)=10t^2$$
$$25t+180-50t=10t^2$$
$$10t^2+25t-180=0$$
$$2t^2+5t-36=0$$
$$(2t+9)(t-4)=0.$$
Отсюда $$t=4$$ или $$t=-\frac{9}{2}$$. Отрицательное значение не подходит, значит, $$t=4$$ ч.
Найдём скорость первого поезда:
$$x=\frac{10\cdot 4}{\frac{18}{5}-4} =\frac{40}{\frac{18}{5}-\frac{20}{5}} =\frac{40}{-\frac{2}{5}}=-100.$$
Получилось отрицательное значение, значит, в записи уравнений нужно учесть, что после встречи первый поезд до станции $$B$$ прошёл расстояние, равное пути второго поезда до встречи, а второй — расстояние, равное пути первого поезда до встречи. Тогда верные уравнения:
$$\begin{cases} \frac{18}{5}x=t(x+10),\\ \frac{5}{2}(x+10)=tx. \end{cases}$$
Из них:
$$\frac{18}{5}x=t(x+10), \qquad \frac{5}{2}(x+10)=tx.$$
Приравняем правые части через выражение для $$t$$:
$$t=\frac{18x}{5(x+10)}=\frac{5(x+10)}{2x}.$$
Тогда
$$\frac{18x}{5(x+10)}=\frac{5(x+10)}{2x}$$
$$36x^2=25(x+10)^2$$
$$6x=5(x+10)$$
$$x=50.$$
Тогда скорость второго поезда:
$$x+10=60.$$
Найдём время до встречи:
$$t=\frac{18\cdot 50}{5\cdot 60}=3.$$
Ответ: $$50$$ км/ч; $$60$$ км/ч; $$3$$ часа.
