Упр.134 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Сколько решений в зависимости от значения $$a$$ имеет система уравнений:
1) $$\begin{cases} x^2+y^2=4, \\ y=a-x; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} x^2+y^2=a^2, \\ |y-x|=3. \end{cases}$$
1) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=a-x. \end{cases}$$
Подставим $$y=a-x$$ в первое уравнение:
$$x^2+(a-x)^2=4,$$
$$x^2+a^2-2ax+x^2=4,$$
$$2x^2-2ax+(a^2-4)=0.$$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:
$$D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-4)=4a^2-8a^2+32=32-4a^2=4(8-a^2).$$
Система имеет:
- два решения, если $$D>0$$, то есть $$8-a^2>0$$, значит $$-2\sqrt2<a<2\sqrt2$$;
- одно решение, если $$D=0$$, то есть $$a=\pm 2\sqrt2$$;
- нет решений, если $$D<0$$, то есть $$a<-2\sqrt2$$ или $$a>2\sqrt2$$.
2) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ |y-x|=3. \end{cases}$$
Из второго уравнения получаем два случая:
$$y-x=3 \quad \text{или} \quad y-x=-3,$$
то есть
$$y=x+3 \quad \text{или} \quad y=x-3.$$
Рассмотрим случай $$y=x+3$$. Тогда
$$x^2+(x+3)^2=a^2,$$
$$2x^2+6x+9-a^2=0.$$
Дискриминант:
$$D=6^2-4\cdot 2\cdot (9-a^2)=36-72+8a^2=8a^2-36.$$
Чтобы были две точки пересечения с одной прямой, нужно $$D>0$$:
$$8a^2-36>0,$$
$$a^2>\frac{9}{2},$$
$$|a|>\frac{3\sqrt2}{2}.$$
При $$|a|=\frac{3\sqrt2}{2}$$ каждая из прямых касается окружности, и получается по одной точке на каждой прямой, всего две точки. При $$|a|<\frac{3\sqrt2}{2}$$ решений нет.
Итак, система имеет:
- четыре решения, если $$a<-\frac{3\sqrt2}{2}$$ или $$a>\frac{3\sqrt2}{2}$$;
- два решения, если $$a=\pm \frac{3\sqrt2}{2}$$;
- нет решений, если $$-\frac{3\sqrt2}{2}<a<\frac{3\sqrt2}{2}$$.
Ответ
1) $$2$$ решения при $$-2\sqrt2<a<2\sqrt2$$; $$1$$ решение при $$a=\pm 2\sqrt2$$; решений нет при $$a<-2\sqrt2$$ или $$a>2\sqrt2$$.
2) $$4$$ решения при $$a<-\frac{3\sqrt2}{2}$$ или $$a>\frac{3\sqrt2}{2}$$; $$2$$ решения при $$a=\pm \frac{3\sqrt2}{2}$$; решений нет при $$-\frac{3\sqrt2}{2}<a<\frac{3\sqrt2}{2}$$.
