Упр.134 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сколько решений в зависимости от значения $$a$$ имеет система уравнений:

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=4, \\ y=x-a; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} x^2+y^2=a^2, \\ |y|=5. \end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x-a. \end{cases}$$

Подставим $$y=x-a$$ в первое уравнение:

$$x^2+(x-a)^2=4$$

$$x^2+x^2-2ax+a^2=4$$

$$2x^2-2ax+(a^2-4)=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-4)=4a^2-8a^2+32=32-4a^2.$$

Система имеет:

• два решения, если $$D>0$$, то есть $$32-4a^2>0$$, откуда $$a^2<8$$, $$-2\sqrt2<a<2\sqrt2$$;
• одно решение, если $$D=0$$, то есть $$a^2=8$$, $$a=\pm 2\sqrt2$$;
• нет решений, если $$D<0$$, то есть $$a^2>8$$, $$a\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)$$.

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ |y|=5. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем:

$$y=\pm 5.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+25=a^2,$$

то есть

$$x^2=a^2-25.$$

Система имеет:

• четыре решения, если $$a^2-25>0$$, то есть $$|a|>5$$;
• два решения, если $$a^2-25=0$$, то есть $$a=\pm 5$$;
• нет решений, если $$a^2-25<0$$, то есть $$-5<a<5$$.

Ответ

1) Два решения при $$-2\sqrt2<a<2\sqrt2$$; одно решение при $$a=\pm 2\sqrt2$$; нет решений при $$a\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)$$.

2) Четыре решения при $$a\in(-\infty;-5)\cup(5;+\infty)$$; два решения при $$a=\pm 5$$; нет решений при $$a\in(-5;5)$$.