Упр.134 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Сколько решений в зависимости от значения $$a$$ имеет система уравнений:
1) $$\begin{cases} x^2+y^2=1, \\ y=x+a; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} x^2+y^2=a^2, \\ |x|=3? \end{cases}$$
1) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=1,\\ y=x+a. \end{cases}$$
Подставим $$y=x+a$$ в первое уравнение:
$$x^2+(x+a)^2=1,$$
$$x^2+x^2+2ax+a^2=1,$$
$$2x^2+2ax+(a^2-1)=0.$$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:
$$D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-1)=4a^2-8a^2+8=8-4a^2.$$
Система имеет:
- два решения, если $$D>0$$, то есть $$8-4a^2>0$$, откуда $$a^2<2$$, $$-\sqrt2<a<\sqrt2$$;
- одно решение, если $$D=0$$, то есть $$a^2=2$$, откуда $$a=\pm\sqrt2$$;
- нет решений, если $$D<0$$, то есть $$a^2>2$$, откуда $$a\in(-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)$$.
2) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ |x|=3. \end{cases}$$
Из второго уравнения получаем:
$$x=\pm 3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(\pm 3)^2+y^2=a^2,$$
$$9+y^2=a^2,$$
$$y^2=a^2-9.$$
Тогда:
- два значения $$y$$ при $$a^2-9>0$$, то есть $$|a|>3$$; вместе с двумя значениями $$x$$ получаем четыре решения;
- одно значение $$y$$ при $$a^2-9=0$$, то есть $$a=\pm 3$$; тогда при двух значениях $$x$$ получаем два решения;
- нет решений при $$a^2-9<0$$, то есть $$|a|<3$$.
Ответ
1) $$2$$ решения при $$a\in(-\sqrt2;\sqrt2)$$; $$1$$ решение при $$a=\pm\sqrt2$$; решений нет при $$a\in(-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)$$.
2) $$4$$ решения при $$a\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$; $$2$$ решения при $$a=\pm 3$$; решений нет при $$a\in(-3;3)$$.
