Упр.133 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
- 1) $$\begin{cases}x^2+xy-12y^2=0,\\2x^2-3xy+y^2=90;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}4x^2-3xy-y^2=14,\\2x^2+xy-3y^2=12.\end{cases}$$
1) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2+xy-12y^2=0,\\ 2x^2-3xy+y^2=90. \end{cases}$$
Первое уравнение разложим на множители:
$$x^2+xy-12y^2=(x+4y)(x-3y)=0.$$
Значит, возможны два случая:
$$x=-4y \quad \text{или} \quad x=3y.$$
1. Если $$x=-4y,$$ тогда из второго уравнения:
$$2(-4y)^2-3(-4y)y+y^2=90,$$
$$32y^2+12y^2+y^2=90,$$
$$45y^2=90,\quad y^2=2,\quad y=\pm\sqrt{2}.$$
Тогда
$$x=-4y=\mp 4\sqrt{2}.$$
Получаем точки:
$$(-4\sqrt{2},\sqrt{2}),\quad (4\sqrt{2},-\sqrt{2}).$$
2. Если $$x=3y,$$ тогда:
$$2(3y)^2-3(3y)y+y^2=90,$$
$$18y^2-9y^2+y^2=90,$$
$$10y^2=90,\quad y^2=9,\quad y=\pm 3.$$
Тогда
$$x=3y=\pm 9.$$
Получаем точки:
$$(-9,-3),\quad (9,3).$$
2) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 4x^2-3xy-y^2=14,\\ 2x^2+xy-3y^2=12. \end{cases}$$
Положим $$y=tx$$. Тогда
$$\begin{cases} x^2(4-3t-t^2)=14,\\ x^2(2+t-3t^2)=12. \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{4-3t-t^2}{2+t-3t^2}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}.$$
Отсюда
$$6(4-3t-t^2)=7(2+t-3t^2),$$
$$24-18t-6t^2=14+7t-21t^2,$$
$$15t^2-25t+10=0,$$
$$3t^2-5t+2=0.$$
$$D=25-24=1,$$
$$t_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3},\qquad t_2=\frac{5+1}{6}=1.$$
Значит, $$y=\frac{2}{3}x$$ или $$y=x.$$
1. Если $$y=\frac{2}{3}x,$$ тогда из первого уравнения:
$$4x^2-3x\cdot \frac{2}{3}x-\left(\frac{2}{3}x\right)^2=14,$$
$$4x^2-2x^2-\frac{4}{9}x^2=14,$$
$$\frac{14}{9}x^2=14,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3.$$
Тогда
$$y=\frac{2}{3}x=\pm 2.$$
Получаем точки:
$$(-3,-2),\quad (3,2).$$
2. Если $$y=x,$$ тогда
$$4x^2-3x^2-x^2=14,$$
$$0=14,$$
что невозможно. Этот случай не подходит.
Ответ
1) $$(-4\sqrt{2},\sqrt{2}),\ (4\sqrt{2},-\sqrt{2}),\ (-9,-3),\ (9,3).$$
2) $$(-3,-2),\ (3,2).$$
