Упр.133 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- $$\begin{cases} x^2+3xy-10y^2=0,\\ x^2+2xy-y^2=28; \end{cases}$$
- $$\begin{cases} 2x^2+xy-3y^2=3,\\ x^2-4xy-3y^2=9. \end{cases}$$
1) Из первого уравнения выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x^2+3xy-10y^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$x^2+3yx-10y^2=0.$$
$$D=(3y)^2-4\cdot 1\cdot(-10y^2)=9y^2+40y^2=49y^2.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{-3y\pm 7y}{2},$$
откуда
$$x_1=-5y,\qquad x_2=2y.$$
1-й случай: $$x=-5y$$.
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+2xy-y^2=28,$$
$$(-5y)^2+2y\cdot(-5y)-y^2=28,$$
$$25y^2-10y^2-y^2=28,$$
$$14y^2=28,$$
$$y^2=2,$$
$$y=\pm\sqrt2.$$
Тогда
$$x=-5(\pm\sqrt2)=\mp 5\sqrt2.$$
Получаем пары:
$$(-5\sqrt2;\ \sqrt2),\qquad (5\sqrt2;\ -\sqrt2).$$
2-й случай: $$x=2y$$.
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+2xy-y^2=28,$$
$$(2y)^2+2y\cdot(2y)-y^2=28,$$
$$4y^2+4y^2-y^2=28,$$
$$7y^2=28,$$
$$y^2=4,$$
$$y=\pm 2.$$
Тогда
$$x=2(\pm 2)=\pm 4.$$
Получаем пары:
$$(-4;\ -2),\qquad (4;\ 2).$$
2) Пусть $$y=tx.$$ Тогда система примет вид:
$$2x^2+tx^2-3t^2x^2=3,$$
$$x^2-4tx^2-3t^2x^2=9.$$
То есть
$$x^2(2+t-3t^2)=3,$$
$$x^2(1-4t-3t^2)=9.$$
Разделим второе уравнение на первое:
$$\frac{1-4t-3t^2}{2+t-3t^2}=3.$$
Тогда
$$1-4t-3t^2=3(2+t-3t^2),$$
$$1-4t-3t^2=6+3t-9t^2,$$
$$6t^2-7t-5=0.$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 6\cdot(-5)=49+120=169,$$
$$t_{1,2}=\frac{7\pm 13}{12}.$$
Отсюда
$$t_1=-\frac12,\qquad t_2=\frac53.$$
Значит,
$$y_1=-\frac12x,\qquad y_2=\frac53x.$$
1-й случай: $$y=-\frac12x$$.
Подставим в первое уравнение:
$$2x^2+x\left(-\frac12x\right)-3\left(-\frac12x\right)^2=3,$$
$$2x^2-\frac12x^2-\frac34x^2=3,$$
$$\frac34x^2=3,$$
$$x^2=4,$$
$$x=\pm 2.$$
Тогда
$$y=-\frac12(\pm 2)=\mp 1.$$
Получаем пары:
$$(-2;\ 1),\qquad (2;\ -1).$$
2-й случай: $$y=\frac53x$$.
Подставим в первое уравнение:
$$2x^2+x\cdot\frac53x-3\left(\frac53x\right)^2=3,$$
$$2x^2+\frac53x^2-\frac{25}{3}x^2=3,$$
$$-6x^2=3,$$
$$x^2=-\frac12,$$
действительных решений нет.
Ответ
1) $$(-5\sqrt2;\ \sqrt2),\ (5\sqrt2;\ -\sqrt2),\ (-4;\ -2),\ (4;\ 2).$$
2) $$(-2;\ 1),\ (2;\ -1).$$
