Упр.133 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
1) $$\begin{cases}x^2-5xy+6y^2=0,\\3x^2+2xy-y^2=15;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}3x^2-2xy-y^2=7,\\x^2+xy+8y^2=14.\end{cases}$$
1) Из первого уравнения:
$$x^2-5xy+6y^2=0$$
Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$x^2-5yx+6y^2=0$$
$$D=(5y)^2-4\cdot 6y^2=25y^2-24y^2=y^2$$
$$x_{1,2}=\frac{5y\pm y}{2}$$
$$x_1=2y,\quad x_2=3y$$
Подставим в второе уравнение.
Если $$x=2y$$, то
$$3x^2+2xy-y^2=15$$
$$3(2y)^2+2\cdot 2y\cdot y-y^2=15$$
$$12y^2+4y^2-y^2=15$$
$$15y^2=15$$
$$y^2=1,\quad y=\pm 1$$
Тогда $$x=2y$$, значит:
$$(-2;-1),\ (2;1)$$
Если $$x=3y$$, то
$$3(3y)^2+2\cdot 3y\cdot y-y^2=15$$
$$27y^2+6y^2-y^2=15$$
$$32y^2=15$$
$$y^2=\frac{15}{32}$$
$$y=\pm \frac{\sqrt{30}}{8}$$
Тогда
$$x=3y=\pm \frac{3\sqrt{30}}{8}$$
Получаем:
$$\left(-\frac{3\sqrt{30}}{8};-\frac{\sqrt{30}}{8}\right),\ \left(\frac{3\sqrt{30}}{8};\frac{\sqrt{30}}{8}\right)$$
2) Пусть $$y=tx$$. Тогда система принимает вид:
$$x^2-2t x^2-t^2x^2=7$$
$$x^2+tx^2+8t^2x^2=14$$
То есть
$$x^2(3-2t-t^2)=7$$
$$x^2(1+t+8t^2)=14$$
Разделим второе уравнение на первое:
$$\frac{1+t+8t^2}{3-2t-t^2}=2$$
$$1+t+8t^2=2(3-2t-t^2)$$
$$1+t+8t^2=6-4t-2t^2$$
$$10t^2+5t-5=0$$
$$2t^2+t-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=\frac12$$
Если $$t=-1$$, то $$y=-x$$. Подставим во второе уравнение:
$$x^2+x(-x)+8(-x)^2=14$$
$$8x^2=14$$
$$x^2=\frac74$$
$$x=\pm \frac{\sqrt7}{2},\quad y=\mp \frac{\sqrt7}{2}$$
Получаем:
$$\left(-\frac{\sqrt7}{2};\frac{\sqrt7}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt7}{2};-\frac{\sqrt7}{2}\right)$$
Если $$t=\frac12$$, то $$y=\frac{x}{2}$$. Подставим во второе уравнение:
$$x^2+x\cdot \frac{x}{2}+8\left(\frac{x}{2}\right)^2=14$$
$$x^2+\frac12x^2+2x^2=14$$
$$\frac72x^2=14$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2,\quad y=\pm 1$$
Получаем:
$$(-2;-1),\ (2;1)$$
Ответ
1) $$(-2;-1),\ (2;1),\ \left(-\frac{3\sqrt{30}}{8};-\frac{\sqrt{30}}{8}\right),\ \left(\frac{3\sqrt{30}}{8};\frac{\sqrt{30}}{8}\right)$$
2) $$\left(-\frac{\sqrt7}{2};\frac{\sqrt7}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt7}{2};-\frac{\sqrt7}{2}\right),\ (-2;-1),\ (2;1)$$
