Упр.132 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Из второго уравнения имеем $$xy=6,$$ значит $$y=\frac{6}{x}.$$ Подставим в первое уравнение:

$$4x^2-\left(\frac{6}{x}\right)^2=32,$$

$$4x^4-36=32x^2,$$

$$4x^4-32x^2-36=0,$$

$$x^4-8x^2-9=0.$$

Пусть $$u=x^2,$$ тогда

$$u^2-8u-9=0,$$

$$D=64+36=100,$$

$$u_1=\frac{8-10}{2}=-1,\qquad u_2=\frac{8+10}{2}=9.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$u=-1$$ не подходит. Получаем $$x^2=9,$$ откуда $$x=\pm 3.$$ Тогда

$$y=\frac{6}{x},$$

$$x=3 \Rightarrow y=2,\qquad x=-3 \Rightarrow y=-2.$$

Ответ: $$(-3;\,-2),\ (3;\,2).$$

2) Обозначим $$t=x+y,$$ $$u=xy.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} t+u=-19,\\ tu=-20. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$t=-19-u.$$ Подставим во второе:

$$(-19-u)u=-20,$$

$$u^2+19u-20=0,$$

$$D=19^2+80=441,$$

$$u_1=\frac{-19-21}{2}=-20,\qquad u_2=\frac{-19+21}{2}=1.$$

1) Если $$u=-20,$$ то $$t=1.$$ Получаем систему

$$\begin{cases} x+y=1,\\ xy=-20. \end{cases}$$

Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения $$z^2-z-20=0,$$ откуда $$z=-4$$ или $$z=5.$$ Значит,

$$(-4;\,5),\ (5;\,-4).$$

2) Если $$u=1,$$ то $$t=-20.$$ Получаем систему

$$\begin{cases} x+y=-20,\\ xy=1. \end{cases}$$

Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения $$z^2+20z+1=0,$$

$$z=\frac{-20\pm\sqrt{400-4}}{2}=-10\pm 3\sqrt{11}.$$

Следовательно,

$$(-10-3\sqrt{11};\,-10+3\sqrt{11}),\ (-10+3\sqrt{11};\,-10-3\sqrt{11}).$$

Ответ: $$(-4;\,5),\ (5;\,-4),\ (-10-3\sqrt{11};\,-10+3\sqrt{11}),\ (-10+3\sqrt{11};\,-10-3\sqrt{11}).$$

3) Из второго уравнения $$x-y=2,$$ значит $$y=x-2.$$ Подставим в первое:

$$x^3-(x-2)^3=98,$$

$$x^3-\bigl(x^3-6x^2+12x-8\bigr)=98,$$

$$6x^2-12x+8=98,$$

$$6x^2-12x-90=0,$$

$$x^2-2x-15=0,$$

$$D=4+60=64,$$

$$x_1=\frac{2-8}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{2+8}{2}=5.$$

Тогда

$$y_1=-3-2=-5,\qquad y_2=5-2=3.$$

Ответ: $$(-3;\,-5),\ (5;\,3).$$

4) Обозначим $$u=\frac{y}{x}.$$ Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} u-\frac{1}{u}=\frac{16}{15},\\ 4y-5x=15. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$15u$$:

$$15u^2-15=16u,$$

$$15u^2-16u-15=0,$$

$$D=16^2+4\cdot 15\cdot 15=1156,$$

$$u_1=\frac{16-34}{30}=-\frac{3}{5},\qquad u_2=\frac{16+34}{30}=\frac{5}{3}.$$

1) Если $$\frac{y}{x}=-\frac{3}{5},$$ то $$y=-\frac{3x}{5}.$$ Подставим во второе уравнение:

$$4\left(-\frac{3x}{5}\right)-5x=15,$$

$$-\frac{12x}{5}-5x=15,$$

$$-\frac{37x}{5}=15,$$

$$x=-\frac{75}{37},\qquad y=\frac{45}{37}.$$

2) Если $$\frac{y}{x}=\frac{5}{3},$$ то $$y=\frac{5x}{3}.$$ Тогда

$$4\cdot\frac{5x}{3}-5x=15,$$

$$\frac{20x-15x}{3}=15,$$

$$5x=45,\qquad x=9,\qquad y=15.$$

Ответ: $$\left(-\frac{75}{37};\ \frac{45}{37}\right),\ (9;\,15).$$

5) Обозначим

$$t=\frac{1}{2x+5y},\qquad u=\frac{1}{3x-10y}.$$

Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 3t-2u=4,\\ 2t+3u=7. \end{cases}$$

Решим её:

$$t=\frac{4+2u}{3},\qquad t=\frac{7-3u}{2},$$

$$\frac{4+2u}{3}=\frac{7-3u}{2},$$

$$8+4u=21-9u,$$

$$13u=13,\qquad u=1,$$

$$t=\frac{4+2\cdot 1}{3}=2.$$

Значит,

$$\frac{1}{2x+5y}=2,\qquad \frac{1}{3x-10y}=1,$$

откуда

$$2x+5y=\frac{1}{2},\qquad 3x-10y=1.$$

Решим систему:

$$x=\frac{1}{4}-\frac{5}{2}y,$$

$$3\left(\frac{1}{4}-\frac{5}{2}y\right)-10y=1,$$

$$\frac{3}{4}-\frac{15}{2}y-10y=1,$$

$$-\frac{35}{2}y=\frac{1}{4},\qquad y=-\frac{1}{70}.$$

Тогда

$$x=\frac{1}{4}-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{70}\right)=\frac{2}{7}.$$

Ответ: $$\left(\frac{2}{7};\ -\frac{1}{70}\right).$$

6) Обозначим

$$u=\frac{x+3y}{2x-y}.$$

Тогда из первого уравнения

$$u+\frac{6}{u}=5,$$

$$u^2-5u+6=0,$$

$$u_1=2,\qquad u_2=3.$$

1) Если $$\frac{x+3y}{2x-y}=2,$$ то

$$x+3y=2(2x-y),$$

$$x+3y=4x-2y,$$

$$5y=3x,\qquad y=\frac{3x}{5}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-x\cdot\frac{3x}{5}-\left(\frac{3x}{5}\right)^2=1,$$

$$x^2-\frac{3x^2}{5}-\frac{9x^2}{25}=1,$$

$$25x^2-15x^2-9x^2=25,$$

$$x^2=25,$$

$$x=\pm 5,\qquad y=\pm 3.$$

2) Если $$\frac{x+3y}{2x-y}=3,$$ то

$$x+3y=3(2x-y),$$

$$x+3y=6x-3y,$$

$$6y=5x,\qquad y=\frac{5x}{6}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-x\cdot\frac{5x}{6}-\left(\frac{5x}{6}\right)^2=1,$$

$$x^2-\frac{5x^2}{6}-\frac{25x^2}{36}=1,$$

$$36x^2-30x^2-25x^2=36,$$

$$-19x^2=1,$$

что невозможно для действительных чисел.

Ответ: $$(-5;\,-3),\ (5;\,3).$$