Упр.132 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 2x^2+y^2=54,\\ xy=-10. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$y=-\dfrac{10}{x}$$. Подставим в первое:

$$2x^2+\left(-\dfrac{10}{x}\right)^2=54$$

$$2x^2+\dfrac{100}{x^2}=54$$

Умножим на $$x^2$$:

$$2x^4-54x^2+100=0$$

Пусть $$u=x^2$$. Тогда

$$2u^2-54u+100=0$$

$$u^2-27u+50=0$$

$$D=27^2-4\cdot 50=729-200=529$$

$$u_1=\dfrac{27-23}{2}=2,\qquad u_2=\dfrac{27+23}{2}=25$$

Значит,

$$x=\pm\sqrt2,\qquad x=\pm5$$

Тогда

$$y=-\dfrac{10}{x}$$

Получаем решения:

$$(-\sqrt2;\,5\sqrt2),\ (\sqrt2;\,-5\sqrt2),\ (-5;\,2),\ (5;\,-2).$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x-y+xy=-4,\\ xy(x-y)=-21. \end{cases}$$

Пусть $$t=x-y$$, $$u=xy$$. Тогда

$$\begin{cases} t+u=-4,\\ tu=-21. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$t=-u-4$$. Подставим во второе:

$$(-u-4)u=-21$$

$$u^2+4u-21=0$$

$$D=4^2+4\cdot 21=100$$

$$u_1=-7,\qquad u_2=3$$

Тогда

$$t_1=3,\qquad t_2=-7$$

1) $$x-y=3,\ xy=-7$$. Тогда $$y=x-3$$, и

$$x(x-3)=-7$$

$$x^2-3x+7=0$$

$$D=9-28=-19<0$$

Действительных решений нет.

2) $$x-y=-7,\ xy=3$$. Тогда $$y=x+7$$, и

$$x(x+7)=3$$

$$x^2+7x-3=0$$

$$D=49+12=61$$

$$x=\dfrac{-7\pm\sqrt{61}}{2}$$

Тогда

$$y=x+7=\dfrac{7\pm\sqrt{61}}{2}$$

Ответ:

$$\left(\dfrac{-7-\sqrt{61}}{2};\dfrac{7-\sqrt{61}}{2}\right),\ \left(\dfrac{-7+\sqrt{61}}{2};\dfrac{7+\sqrt{61}}{2}\right).$$

3) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^3-y^3=26,\\ x^2+xy+y^2=13. \end{cases}$$

Используем формулу $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$:

$$(x-y)\cdot 13=26$$

$$x-y=2$$

$$y=x-2$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+x(x-2)+(x-2)^2=13$$

$$3x^2-6x-9=0$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=4+12=16$$

$$x_1=-1,\qquad x_2=3$$

Тогда

$$y_1=-3,\qquad y_2=1$$

Ответ:

$$(-1;\,-3),\ (3;\,1).$$

4) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{15}{4},\\ 2x-5y=9. \end{cases}$$

Пусть $$u=\dfrac{x}{y}$$. Тогда $$\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{u}$$, и

$$u-\dfrac{1}{u}=\dfrac{15}{4}$$

$$4u^2-15u-4=0$$

$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289$$

$$u_1=-\dfrac14,\qquad u_2=4$$

1) $$\dfrac{x}{y}=-\dfrac14$$, значит $$y=-4x$$. Тогда

$$2x-5(-4x)=9$$

$$22x=9,\qquad x=\dfrac{9}{22}$$

$$y=-\dfrac{18}{11}$$

2) $$\dfrac{x}{y}=4$$, значит $$x=4y$$. Тогда

$$2\cdot 4y-5y=9$$

$$3y=9,\qquad y=3,\qquad x=12$$

Ответ:

$$\left(\dfrac{9}{22};-\dfrac{18}{11}\right),\ (12;\,3).$$

5) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \dfrac{5}{3x-2y}+\dfrac{2}{2x+y}=21,\\ \dfrac{9}{3x-2y}+\dfrac{8}{2x+y}=40. \end{cases}$$

Пусть

$$t=\dfrac{1}{3x-2y},\qquad u=\dfrac{1}{2x+y}.$$

Тогда

$$\begin{cases} 5t+2u=21,\\ 9t+8u=40. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=\dfrac{21-5t}{2}$$. Подставим во второе:

$$9t+8\cdot\dfrac{21-5t}{2}=40$$

$$9t+4(21-5t)=40$$

$$9t+84-20t=40$$

$$-11t=-44,\qquad t=4$$

Тогда

$$u=\dfrac{21-5\cdot 4}{2}=\dfrac12$$

Получаем систему

$$\begin{cases} \dfrac{1}{3x-2y}=4,\\ \dfrac{1}{2x+y}=\dfrac12. \end{cases}$$

Отсюда

$$3x-2y=\dfrac14,\qquad 2x+y=2$$

Из второго уравнения $$y=2-2x$$. Подставим в первое:

$$3x-2(2-2x)=\dfrac14$$

$$7x-4=\dfrac14$$

$$7x=\dfrac{17}{4},\qquad x=\dfrac{17}{28}$$

$$y=2-2\cdot\dfrac{17}{28}=\dfrac{11}{14}$$

Ответ:

$$\left(\dfrac{17}{28};\dfrac{11}{14}\right).$$

6) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \dfrac{2x+y}{x-2y}+\dfrac{2(x-2y)}{2x+y}=3,\\ x^2+3xy-y^2=25. \end{cases}$$

Пусть

$$u=\dfrac{2x+y}{x-2y}.$$

Тогда

$$u+\dfrac{2}{u}=3$$

$$u^2-3u+2=0$$

$$(u-1)(u-2)=0$$

Значит, $$u=1$$ или $$u=2$$.

1) Если $$\dfrac{2x+y}{x-2y}=1$$, то

$$2x+y=x-2y$$

$$x=-3y$$

Подставим во второе уравнение:

$$(-3y)^2+3(-3y)y-y^2=25$$

$$9y^2-9y^2-y^2=25$$

$$-y^2=25$$

Действительных решений нет.

2) Если $$\dfrac{2x+y}{x-2y}=2$$, то

$$2x+y=2(x-2y)$$

$$y=0$$

Тогда из второго уравнения

$$x^2=25$$

$$x=\pm 5$$

Ответ:

$$(-5;\,0),\ (5;\,0).$$