Упр.132 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
1) $$\begin{cases}x^2-3y^2=13,\\xy=-4;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}x+y-xy=-2,\\xy(x+y)=48;\end{cases}$$
3) $$\begin{cases}x^3+y^3=7,\\x^2-xy+y^2=7;\end{cases}$$
4) $$\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\frac{1}{2},\\2x-3y=3;\end{cases}$$
5) $$\begin{cases}\frac{2}{x-2y}+\frac{1}{x+2y}=7,\\\frac{15}{x-2y}-\frac{2}{x+2y}=24;\end{cases}$$
6) $$\begin{cases}\frac{x+y}{x-y}-\frac{2(x-y)}{x+y}=1,\\x^2-5xy+2y^2=4.\end{cases}$$
Из второго уравнения имеем $$xy=-4,$$ значит $$y=-\frac{4}{x}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2-3\left(-\frac{4}{x}\right)^2=13,$$
$$x^2-\frac{48}{x^2}=13.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-13x^2-48=0.$$
Пусть $$u=x^2.$$ Тогда
$$u^2-13u-48=0,$$
$$D=13^2+4\cdot 48=169+192=361,$$
$$u_1=\frac{13-19}{2}=-3,\qquad u_2=\frac{13+19}{2}=16.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то подходит только $$u=16.$$ Тогда
$$x=\pm 4.$$
Если $$x=4,$$ то $$y=-1.$$ Если $$x=-4,$$ то $$y=1.$$
Ответ: $$(-4;1),\ (4;-1).$$
Положим $$t=x+y,$$ $$u=xy.$$ Тогда система примет вид
$$\begin{cases} t-u=-2,\\ tu=48. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$t=u-2.$$ Подставим во второе:
$$u(u-2)=48,$$
$$u^2-2u-48=0.$$
$$D=4+192=196,$$
$$u_1=\frac{2-14}{2}=-6,\qquad u_2=\frac{2+14}{2}=8.$$
1) Если $$u=-6,$$ то $$t=-8.$$ Получаем
$$\begin{cases} x+y=-8,\\ xy=-6. \end{cases}$$
$$x^2+8x-6=0,$$
$$D=64+24=88=4\cdot 22,$$
$$x=-4\pm \sqrt{22}.$$
Тогда $$y=-8-x,$$ значит
$$(-4+\sqrt{22};\,-4-\sqrt{22}),\quad (-4-\sqrt{22};\,-4+\sqrt{22}).$$
2) Если $$u=8,$$ то $$t=6.$$ Получаем
$$\begin{cases} x+y=6,\\ xy=8. \end{cases}$$
$$x^2-6x+8=0,$$
$$x=2 \text{ или } x=4.$$
Тогда $$y=4$$ или $$y=2.$$
Ответ: $$(-4+\sqrt{22};\,-4-\sqrt{22}),\ (-4-\sqrt{22};\,-4+\sqrt{22}),\ (2;4),\ (4;2).$$
Из первого уравнения:
$$x^3+y^3=7,$$
$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=7.$$
Но $$x^2-xy+y^2=7,$$ значит
$$7(x+y)=7,$$
$$x+y=1.$$
Тогда $$y=1-x.$$ Подставим во второе уравнение:
$$x^2-x(1-x)+(1-x)^2=7,$$
$$3x^2-3x-6=0,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$x=-1 \text{ или } x=2.$$
Если $$x=-1,$$ то $$y=2.$$ Если $$x=2,$$ то $$y=-1.$$
Ответ: $$(-1;2),\ (2;-1).$$
Пусть $$u=\frac{x}{y}.$$ Тогда из первого уравнения получаем
$$u+\frac{1}{u}=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.$$
Умножим на $$2u$$:
$$2u^2-5u+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$u_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},\qquad u_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
1) Если $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2},$$ то $$y=2x.$$ Подставим во второе уравнение:
$$2x-3(2x)=3,$$
$$-4x=3,$$
$$x=-\frac{3}{4},\qquad y=-\frac{3}{2}.$$
2) Если $$\frac{x}{y}=2,$$ то $$x=2y.$$ Тогда
$$2(2y)-3y=3,$$
$$y=3,\qquad x=6.$$
Ответ: $$\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{2}\right),\ (6;3).$$
Обозначим
$$t=\frac{1}{x-2y},\qquad u=\frac{1}{x+2y}.$$
Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} 2t+u=7,\\ 15t-2u=24. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$u=7-2t.$$ Подставим во второе:
$$15t-2(7-2t)=24,$$
$$19t=38,$$
$$t=2,\qquad u=3.$$
Тогда
$$\frac{1}{x-2y}=2,\qquad \frac{1}{x+2y}=3.$$
Отсюда
$$x-2y=\frac{1}{2},\qquad x+2y=\frac{1}{3}.$$
Решим систему:
$$\begin{cases} x-2y=\frac{1}{2},\\ x+2y=\frac{1}{3}. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x=\frac{5}{6},\qquad x=\frac{5}{12}.$$
Тогда
$$\frac{5}{12}+2y=\frac{1}{3},$$
$$2y=-\frac{1}{4},\qquad y=-\frac{1}{8}.$$
Ответ: $$\left(\frac{5}{12};-\frac{1}{8}\right).$$
Пусть $$u=\frac{x+y}{x-y}.$$ Тогда из первого уравнения
$$u-\frac{2}{u}=1.$$
Умножим на $$u$$:
$$u^2-u-2=0,$$
$$u_1=-1,\qquad u_2=2.$$
1) Если $$\frac{x+y}{x-y}=-1,$$ то
$$x+y=-(x-y),$$
$$2x=0,\qquad x=0.$$
Подставим во второе уравнение:
$$0^2-5\cdot 0\cdot y+2y^2=4,$$
$$y^2=2,$$
$$y=\pm \sqrt{2}.$$
2) Если $$\frac{x+y}{x-y}=2,$$ то
$$x+y=2(x-y),$$
$$x=3y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$(3y)^2-5\cdot 3y\cdot y+2y^2=4,$$
$$9y^2-15y^2+2y^2=4,$$
$$-4y^2=4,$$
$$y^2=-1,$$
действительных решений нет.
Ответ: $$(0;-\sqrt{2}),\ (0;\sqrt{2}).$$
