Упр.131 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1) $$\begin{cases} x^2+2xy+y^2=100,\\ y-x=6; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^2+4xy+4y^2=1,\\ 2x^2-3xy+y^2=6; \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} xy+x^2=30,\\ xy+y^2=-5; \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} 2y^2-3x^2=1,\\ 3x^2+2y^2=19; \end{cases}$$

5) $$\begin{cases} 2xy-x=9,\\ 2xy+5y=22; \end{cases}$$

6) $$\begin{cases} x^2+16y^2=73,\\ xy=-6. \end{cases}$$

1)

$$\begin{cases} x^2+2xy+y^2=100,\\ y-x=6. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=x+6.$$
Подставим в первое:
$$x^2+2x(x+6)+(x+6)^2=100,$$
$$x^2+2x^2+12x+x^2+12x+36=100,$$
$$4x^2+24x-64=0,$$
$$x^2+6x-16=0.$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100.$$
$$x_1=\frac{-6-10}{2}=-8,\qquad x_2=\frac{-6+10}{2}=2.$$
Тогда
$$y_1=-8+6=-2,\qquad y_2=2+6=8.$$

Ответ: $$(-8;\,-2),\ (2;\,8).$$

2)

$$\begin{cases} x^2+4xy+4y^2=1,\\ 2x^2-3xy+y^2=6. \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$(x+2y)^2=1,$$
значит
$$x=-2y\pm 1.$$
Подставим во второе уравнение. Получаем квадратное уравнение относительно $$y$$:
$$15y^2+11y-4=0.$$
$$D=11^2-4\cdot 15\cdot(-4)=121+240=361.$$
$$y_1=\frac{-11-19}{30}=-1,\qquad y_2=\frac{-11+19}{30}=\frac{4}{15},$$
$$y_3=\frac{11-19}{30}=-\frac{4}{15},\qquad y_4=\frac{11+19}{30}=1.$$
Тогда
$$x=-2y\pm 1,$$
и получаем пары решений:
$$(1;\,-1),\ \left(-1;\,1\right),\ \left(-\frac{23}{15};\,\frac{4}{15}\right),\ \left(\frac{23}{15};\,-\frac{4}{15}\right).$$

Ответ: $$(1;\,-1),\ \left(-1;\,1\right),\ \left(-\frac{23}{15};\,\frac{4}{15}\right),\ \left(\frac{23}{15};\,-\frac{4}{15}\right).$$

3)

$$\begin{cases} xy+x^2=30,\\ xy+y^2=-5. \end{cases}$$
Перепишем:
$$x(x+y)=30,\qquad y(x+y)=-5.$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{x}{y}=\frac{30}{-5}=-6,$$
значит
$$x=-6y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$y(x+y)=-5,$$
$$y(-6y+y)=-5,$$
$$-5y^2=-5,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm 1.$$
Тогда
$$x=-6y,$$
откуда
$$(-6;\,1),\ (6;\,-1).$$

Ответ: $$(-6;\,1),\ (6;\,-1).$$

4)

$$\begin{cases} 2y^2-3x^2=1,\\ 3x^2+2y^2=19. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$4y^2=20,$$
$$y^2=5,\qquad y=\pm \sqrt{5}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2\cdot 5-3x^2=1,$$
$$10-3x^2=1,$$
$$3x^2=9,$$
$$x^2=3,\qquad x=\pm \sqrt{3}.$$

Ответ: $$(-\sqrt{3};\,-\sqrt{5}),\ (-\sqrt{3};\,\sqrt{5}),\ (\sqrt{3};\,-\sqrt{5}),\ (\sqrt{3};\,\sqrt{5}).$$

5)

$$\begin{cases} 2xy-x=9,\\ 2xy+5y=22. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$5y+x=13,$$
$$x=13-5y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2y(13-5y)+5y=22,$$
$$26y-10y^2+5y=22,$$
$$10y^2-31y+22=0.$$
$$D=31^2-4\cdot 10\cdot 22=961-880=81.$$
$$y_1=\frac{31-9}{20}=\frac{11}{10},\qquad y_2=\frac{31+9}{20}=2.$$
Тогда
$$x_1=13-5\cdot \frac{11}{10}=\frac{15}{2},\qquad x_2=13-5\cdot 2=3.$$

Ответ: $$\left(\frac{15}{2};\,\frac{11}{10}\right),\ (3;\,2).$$

6)

$$\begin{cases} x^2+16y^2=73,\\ xy=-6. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=-\frac{6}{x}.$$
Подставим в первое:
$$x^2+16\left(-\frac{6}{x}\right)^2=73,$$
$$x^2+\frac{576}{x^2}=73.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-73x^2+576=0.$$
Пусть $$u=x^2$$. Тогда
$$u^2-73u+576=0.$$
$$D=73^2-4\cdot 576=5329-2304=3025.$$
$$u_1=\frac{73-55}{2}=9,\qquad u_2=\frac{73+55}{2}=64.$$
Значит,
$$x=\pm 3,\qquad x=\pm 8.$$
По формуле $$y=-\frac{6}{x}$$ получаем:
$$(3;\,-2),\ (-3;\,2),\ (8;\,-\tfrac{3}{4}),\ (-8;\,\tfrac{3}{4}).$$

Ответ: $$(-3;\,2),\ (3;\,-2),\ (-8;\,\tfrac{3}{4}),\ (8;\,-\tfrac{3}{4}).$$