Упр.131 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. $$\begin{cases} x^2+2xy+y^2=49, \\ x-y=3; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} 4x^2-4xy+y^2=9, \\ 3x^2+2xy-y^2=36; \end{cases}$$
3. $$\begin{cases} x^2-xy=-8, \\ y^2-xy=24; \end{cases}$$
4. $$\begin{cases} 5x^2+3y^2=18, \\ 5x^2-3y^2=12; \end{cases}$$
5. $$\begin{cases} x^2+25y^2=2, \\ xy=2; \end{cases}$$

1)

$$\begin{cases} x^2+2xy+y^2=49,\\ x-y=3 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=x-3.$$
Подставим в первое:
$$x^2+2x(x-3)+(x-3)^2=49,$$
$$x^2+2x^2-6x+x^2-6x+9=49,$$
$$4x^2-12x-40=0,$$
$$x^2-3x-10=0.$$
$$D=9+40=49,$$
$$x_1=\frac{3-7}{2}=-2,\quad x_2=\frac{3+7}{2}=5.$$
Тогда
$$y_1=-2-3=-5,\quad y_2=5-3=2.$$

Ответ: $$(-2;\,-5)$$; $$(5;\,2)$$.

2)

$$\begin{cases} 4x^2-4xy+y^2=9,\\ 3x^2+2xy-y^2=36 \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$(2x-y)^2=9,$$
откуда
$$2x-y=\pm 3,\quad y=2x\mp 3.$$
Подставим во второе уравнение.

1) Если $$y=2x-3,$$ то
$$3x^2+2x(2x-3)-(2x-3)^2=36,$$
$$3x^2+4x^2-6x-4x^2+12x-9=36,$$
$$3x^2+6x-45=0,$$
$$x^2+2x-15=0.$$
$$D=64,\quad x=-5 \text{ или } x=3.$$
Тогда
$$y=2x-3:$$
$$(-5;\,-13),\quad (3;\,3).$$

2) Если $$y=2x+3,$$ то
$$3x^2+2x(2x+3)-(2x+3)^2=36,$$
$$3x^2+4x^2+6x-4x^2-12x-9=36,$$
$$3x^2-6x-45=0,$$
$$x^2-2x-15=0.$$
$$D=64,\quad x=-3 \text{ или } x=5.$$
Тогда
$$y=2x+3:$$
$$(-3;\,-3),\quad (5;\,13).$$

Ответ: $$(-5;\,-13)$$; $$(3;\,3)$$; $$(-3;\,-3)$$; $$(5;\,13)$$.

3)

$$\begin{cases} x^2-xy=-8,\\ y^2-xy=24 \end{cases}$$
Преобразуем:
$$x(y-x)=8,\quad y(y-x)=24.$$
Так как $$y-x\neq 0,$$ разделим второе уравнение на первое:
$$\frac{y(y-x)}{x(y-x)}=\frac{24}{8},$$
$$\frac{y}{x}=3,\quad y=3x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x(3x-x)=8,$$
$$2x^2=8,$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
Тогда
$$y=3x=\pm 6.$$

Ответ: $$(-2;\,-6)$$; $$(2;\,6)$$.

4)

$$\begin{cases} 5x^2+3y^2=18,\\ 5x^2-3y^2=12 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$10x^2=30,\quad x^2=3,\quad x=\pm \sqrt{3}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5\cdot 3-3y^2=12,$$
$$15-3y^2=12,$$
$$3y^2=3,\quad y^2=1,\quad y=\pm 1.$$

Ответ: $$(-\sqrt{3};\,-1)$$; $$(-\sqrt{3};\,1)$$; $$(\sqrt{3};\,-1)$$; $$(\sqrt{3};\,1)$$.

5)

$$\begin{cases} 4xy-y=-40,\\ 5x-4xy=27 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$5x-y=-13,\quad y=5x+13.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4x(5x+13)-(5x+13)=-40,$$
$$20x^2+52x-5x-13=-40,$$
$$20x^2+47x+27=0.$$
$$D=47^2-4\cdot 20\cdot 27=49,$$
$$x_1=\frac{-47-7}{40}=-\frac{27}{20},\quad x_2=\frac{-47+7}{40}=-1.$$
Тогда
$$y_1=5\cdot\left(-\frac{27}{20}\right)+13=\frac{25}{4},\quad y_2=5\cdot(-1)+13=8.$$

Ответ: $$\left(-\frac{27}{20};\frac{25}{4}\right)$$; $$(-1;\,8)$$.

6)

$$\begin{cases} x^2+25y^2=29,\\ xy=2 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=\frac{2}{x},\quad x\neq 0.$$
Подставим в первое:
$$x^2+25\left(\frac{2}{x}\right)^2=29,$$
$$x^2+\frac{100}{x^2}=29.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-29x^2+100=0.$$
Пусть $$u=x^2$$. Тогда
$$u^2-29u+100=0.$$
$$D=29^2-4\cdot 100=441,$$
$$u_1=\frac{29-21}{2}=4,\quad u_2=\frac{29+21}{2}=25.$$
Значит,
$$x=\pm 2 \text{ или } x=\pm 5.$$
Тогда
$$y=\frac{2}{x}:$$
$$(2;\,1),\ (-2;\,-1),\ (5;\,0{,}4),\ (-5;\,-0{,}4).$$

Ответ: $$(-2;\,-1)$$; $$(2;\,1)$$; $$(-5;\,-0{,}4)$$; $$(5;\,0{,}4)$$.