Упр.131 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}x^2+y^2-2xy=36\\x+y=-4\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}x^2+6xy+9y^2=4\\x^2-xy-4y^2=-2\end{cases}$$
   3) $$\begin{cases}x^2+xy=6\\xy+y^2=3\end{cases}$$
   4) $$\begin{cases}x^2-6y^2=-5\\x^2+6y^2=7\end{cases}$$
   5) $$\begin{cases}2x+3xy=-20\\y-3xy=28\end{cases}$$
   6) $$\begin{cases}4x^2+y^2=13\\xy=-3\end{cases}$$

1)

$$\begin{cases} x^2+y^2-2xy=36,\\ x+y=-4. \end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y=-4-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+(-4-x)^2-2x(-4-x)=36.$$
$$x^2+16+8x+x^2+8x+2x^2=36.$$
$$4x^2+16x-20=0.$$
$$x^2+4x-5=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=36.$$
$$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{-4+6}{2}=1.$$
Тогда
$$y_1=-4-(-5)=1,\qquad y_2=-4-1=-5.$$

Ответ: $$(-5;1),\ (1;-5).$$

2)

$$\begin{cases} x^2+6xy+9y^2=4,\\ x^2-xy-4y^2=-2. \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$(x+3y)^2=4,$$
значит
$$x+3y=\pm 2,\qquad x=\pm 2-3y.$$
Подставим во второе уравнение.

Если $$x=2-3y$$, то

$$(2-3y)^2-(2-3y)y-4y^2=-2,$$
$$4-12y+9y^2-2y+3y^2-4y^2=-2,$$
$$8y^2-14y+6=0,$$
$$4y^2-7y+3=0.$$
$$D=49-48=1.$$
$$y_1=\frac{7-1}{8}=\frac34,\qquad y_2=\frac{7+1}{8}=1.$$
Тогда
$$x_1=2-3\cdot \frac34=-\frac14,\qquad x_2=2-3\cdot 1=-1.$$

Если $$x=-2-3y$$, то

$$(-2-3y)^2-(-2-3y)y-4y^2=-2,$$
$$4+12y+9y^2+2y+3y^2-4y^2=-2,$$
$$8y^2+14y+6=0,$$
$$4y^2+7y+3=0.$$
$$D=49-48=1.$$
$$y_3=\frac{-7-1}{8}=-1,\qquad y_4=\frac{-7+1}{8}=-\frac34.$$
Тогда
$$x_3=-2-3(-1)=1,\qquad x_4=-2-3\left(-\frac34\right)=\frac14.$$

Ответ: $$\left(-\frac14;\frac34\right),\ (-1;1),\ (1;-1),\ \left(\frac14;-\frac34\right).$$

3)

$$\begin{cases} x^2+xy=6,\\ xy+y^2=3. \end{cases}$$
Запишем так:
$$x(x+y)=6,\qquad y(x+y)=3.$$
Так как $$x+y\neq 0$$, разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{x}{y}=\frac{6}{3}=2,$$
значит
$$x=2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$y(2y+y)=3,$$
$$3y^2=3,$$
$$y^2=1,\qquad y=\pm 1.$$
Тогда
$$x=2y=\pm 2.$$

Ответ: $$(-2;-1),\ (2;1).$$

4)

$$\begin{cases} x^2-6y^2=-5,\\ x^2+6y^2=7. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x^2=2,$$
$$x^2=1,\qquad x=\pm 1.$$
Подставим во второе уравнение:
$$1+6y^2=7,$$
$$6y^2=6,$$
$$y^2=1,\qquad y=\pm 1.$$

Ответ: $$(-1;-1),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (1;1).$$

5)

$$\begin{cases} 2x+3xy=-20,\\ y-3xy=28. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x+y=8,$$
$$y=8-2x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$(8-2x)-3x(8-2x)=28,$$
$$8-2x-24x+6x^2=28,$$
$$6x^2-26x-20=0,$$
$$3x^2-13x-10=0.$$
$$D=169+120=289.$$
$$x_1=\frac{13-17}{6}=-\frac23,\qquad x_2=\frac{13+17}{6}=5.$$
Тогда
$$y_1=8-2\left(-\frac23\right)=\frac{28}{3},\qquad y_2=8-2\cdot 5=-2.$$

Ответ: $$\left(-\frac23;\frac{28}{3}\right),\ (5;-2).$$

6)

$$\begin{cases} 4x^2+y^2=13,\\ xy=-3. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=-\frac{3}{x},\qquad x\neq 0.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4x^2+\left(-\frac{3}{x}\right)^2=13,$$
$$4x^2+\frac{9}{x^2}=13.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$4x^4-13x^2+9=0.$$
Пусть $$u=x^2$$. Тогда
$$4u^2-13u+9=0.$$
$$D=169-144=25.$$
$$u_1=\frac{13-5}{8}=1,\qquad u_2=\frac{13+5}{8}=\frac94.$$
Значит,
$$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm \frac32.$$
По формуле $$y=-\frac{3}{x}$$ получаем:
$$x=1 \Rightarrow y=-3,\qquad x=-1 \Rightarrow y=3,$$
$$x=\frac32 \Rightarrow y=-2,\qquad x=-\frac32 \Rightarrow y=2.$$

Ответ: $$(-1;3),\ (1;-3),\ \left(-\frac32;2\right),\ \left(\frac32;-2\right).$$