Упр.130 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Не выполняя построения, найти координаты точек пересечения:
1) прямой $$y=3x-1$$ и параболы $$y=x^2-2x+3$$;
2) прямой $$2x+y+9=0$$ и окружности $$(x+2)^2+y^2=10$$;
3) прямой $$y=-x+1$$ и окружности $$x^2+(y+3)^2=8$$;
4) прямой $$y=2x^2-8x+10$$ и $$y=1+4x-2x^2$$.
1) Найдём точки пересечения прямой $$y=3x-1$$ и параболы $$y=x^2-2x+3$$:
$$3x-1=x^2-2x+3$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=4$$
Тогда
$$y_1=3\cdot 1-1=2,\quad y_2=3\cdot 4-1=11$$
Точки пересечения: $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(4;11\right)$$.
2) Найдём точки пересечения прямой $$2x+y+9=0$$ и окружности $$\left(x+2\right)^2+y^2=10$$:
$$y=-2x-9$$
Подставим в уравнение окружности:
$$\left(x+2\right)^2+\left(-2x-9\right)^2=10$$
$$x^2+4x+4+4x^2+36x+81=10$$
$$5x^2+40x+75=0$$
$$x^2+8x+15=0$$
$$D=64-60=4$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 2}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=-3$$
Тогда
$$y_1=-2\cdot(-5)-9=1,\quad y_2=-2\cdot(-3)-9=-3$$
Точки пересечения: $$\left(-5;1\right)$$ и $$\left(-3;-3\right)$$.
3) Найдём точки пересечения прямой $$y=-x+1$$ и окружности $$x^2+\left(y+3\right)^2=8$$:
$$x^2+\left(-x+1+3\right)^2=8$$
$$x^2+\left(4-x\right)^2=8$$
$$x^2+16-8x+x^2=8$$
$$2x^2-8x+8=0$$
$$x^2-4x+4=0$$
$$\left(x-2\right)^2=0$$
$$x=2$$
Тогда
$$y=-2+1=-1$$
Точка пересечения: $$\left(2;-1\right)$$.
4) Найдём точки пересечения парабол $$y=2x^2-8x+10$$ и $$y=1+4x-2x^2$$:
$$2x^2-8x+10=1+4x-2x^2$$
$$4x^2-12x+9=0$$
$$\left(2x-3\right)^2=0$$
$$x=\frac{3}{2}$$
Тогда
$$y=1+4\cdot\frac{3}{2}-2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2=1+6-\frac{9}{2}=\frac{5}{2}$$
Точка пересечения: $$\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$$.
Ответ: 1) $$\left(1;2\right),\ \left(4;11\right)$$; 2) $$\left(-5;1\right),\ \left(-3;-3\right)$$; 3) $$\left(2;-1\right)$$; 4) $$\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$$.
