Упр.130 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Не выполняя построения, найти координаты точек пересечения:
   1) прямой $$y=1-5x$$ и параболы $$y=x^2+x-6$$;
   2) прямой $$x-y-5=0$$ и окружности $$(x-3)^2+(y+1)^2=13$$;
   3) прямой $$y=-3x+10$$ и окружности $$x^2+y^2=10$$;
   4) прямой $$y=4x^2+4x+1$$ и $$y=-2x^2-4x-3$$.

1) Найдём точки пересечения прямой $$y=1-5x$$ и параболы $$y=x^2+x-6$$.

Приравняем правые части:

$$1-5x=x^2+x-6$$

$$x^2+6x-7=0$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}$$

$$x_1=-7,\quad x_2=1$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=1-5\cdot(-7)=36,\quad y_2=1-5\cdot 1=-4$$

Ответ: $$(-7;\,36),\ (1;\,-4)$$.

2) Найдём точки пересечения прямой $$x-y-5=0$$ и окружности $$(x-3)^2+(y+1)^2=13$$.

Из уравнения прямой:

$$x=y+5$$

Подставим в уравнение окружности:

$$((y+5)-3)^2+(y+1)^2=13$$

$$(y+2)^2+(y+1)^2=13$$

$$y^2+4y+4+y^2+2y+1=13$$

$$2y^2+6y-8=0$$

$$y^2+3y-4=0$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$

$$y_1=-4,\quad y_2=1$$

Тогда:

$$x_1=-4+5=1,\quad x_2=1+5=6$$

Ответ: $$(1;\,-4),\ (6;\,1)$$.

3) Найдём точки пересечения прямой $$y=-3x+10$$ и окружности $$x^2+y^2=10$$.

Подставим выражение для $$y$$ в уравнение окружности:

$$x^2+(-3x+10)^2=10$$

$$x^2+9x^2-60x+100=10$$

$$10x^2-60x+90=0$$

$$x^2-6x+9=0$$

$$(x-3)^2=0$$

$$x=3$$

Тогда

$$y=-3\cdot 3+10=1$$

Ответ: $$(3;\,1)$$.

4) Найдём точки пересечения графиков $$y=4x^2+4x+1$$ и $$y=-2x^2-4x-3$$.

Приравняем выражения:

$$4x^2+4x+1=-2x^2-4x-3$$

$$6x^2+8x+4=0$$

$$3x^2+4x+2=0$$

Вычислим дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot 2=16-24=-8$$

Так как $$D<0$$, действительных корней нет, значит, точки пересечения отсутствуют.

Ответ: точек пересечения нет.