Упр.130 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1. прямой $$y=x-3$$ и параболы $$y=x^2-4x+3$$;
2. прямой $$x-2y+2=0$$ и окружности $$x^2+(y-1)^2=5$$;
3. прямой $$x+2y-5=0$$ и окружности $$(x-1)^2+(y-2)^2=5$$;
4. двух парабол $$y=2x^2-3x+1$$ и $$y=-x^2+x-1$$.

1. Найдём точки пересечения прямой $$y=x-3$$ и параболы $$y=x^2-4x+3$$:

   $$x-3=x^2-4x+3$$

   $$x^2-5x+6=0$$

   $$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1$$

   $$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

   Тогда

   $$y_1=2-3=-1,\quad y_2=3-3=0$$

   Ответ: $$(2;\,-1),\ (3;\,0)$$

2. Найдём точки пересечения прямой $$x-2y+2=0$$ и окружности $$x^2+(y-1)^2=5$$:

   $$x=2y-2$$

   Подставим в уравнение окружности:

   $$(2y-2)^2+(y-1)^2=5$$

   $$4y^2-8y+4+y^2-2y+1=5$$

   $$5y^2-10y=0$$

   $$5y(y-2)=0$$

   $$y_1=0,\quad y_2=2$$

   Тогда

   $$x_1=2\cdot 0-2=-2,\quad x_2=2\cdot 2-2=2$$

   Ответ: $$(-2;\,0),\ (2;\,2)$$

3. Найдём точки пересечения прямой $$x+2y-5=0$$ и окружности $$(x-1)^2+(y-2)^2=5$$:

   $$x=5-2y$$

   Подставим в уравнение окружности:

   $$((5-2y)-1)^2+(y-2)^2=5$$

   $$(4-2y)^2+(y-2)^2=5$$

   $$16-16y+4y^2+y^2-4y+4=5$$

   $$5y^2-20y+15=0$$

   $$y^2-4y+3=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4$$

   $$y_1=\frac{4-2}{2}=1,\quad y_2=\frac{4+2}{2}=3$$

   Тогда

   $$x_1=5-2\cdot 1=3,\quad x_2=5-2\cdot 3=-1$$

   Ответ: $$(3;\,1),\ (-1;\,3)$$

4. Найдём точки пересечения парабол $$y=2x^2-3x+1$$ и $$y=-x^2+x-1$$:

   $$2x^2-3x+1=-x^2+x-1$$

   $$3x^2-4x+2=0$$

   $$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 2=16-24=-8$$

   Так как $$D<0$$, действительных решений нет.

   Ответ: точек пересечения нет.