Упр.129 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. 1) $$y=5-x$$
   $$y^2+4xy=33$$

   2) $$x+y=8$$
   $$xy=-20$$

   3) $$y-7x=3$$
   $$y^2-6xy-x^2=-9$$

   4) $$y^2-xy+x=2$$
   $$5y+x=12$$

   5) $$4x-3y=4$$
   $$5y^2-16x=16$$

   6) $$4y+x=2$$
   $$(x-4)(y+3)=4$$

1) Из первого уравнения $$x=5-y.$$ Подставим во второе:

$$y^2+4x y=33$$
$$y^2+4y(5-y)=33$$
$$y^2+20y-4y^2=33$$
$$3y^2-20y+33=0.$$

$$D=20^2-4\cdot 3\cdot 33=400-396=4.$$

$$y_1=\frac{20-2}{2\cdot 3}=3,\qquad y_2=\frac{20+2}{2\cdot 3}=\frac{11}{3}.$$

Тогда

$$x_1=5-3=2,\qquad x_2=5-\frac{11}{3}=\frac{4}{3}.$$

Ответ: $$(2; 3),\ \left(\frac{4}{3}; \frac{11}{3}\right).$$

2) Из первого уравнения $$y=8-x.$$ Подставим во второе:

$$x(8-x)=-20$$
$$x^2-8x-20=0.$$

$$D=8^2+4\cdot 20=64+80=144.$$

$$x_1=\frac{8-12}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{8+12}{2}=10.$$

Тогда

$$y_1=8-(-2)=10,\qquad y_2=8-10=-2.$$

Ответ: $$(-2; 10),\ (10; -2).$$

3) Из первого уравнения $$y=3+7x.$$ Подставим во второе:

$$y^2-6xy-x^2=-9$$
$$(3+7x)^2-6x(3+7x)-x^2=-9$$
$$9+42x+49x^2-18x-42x^2-x^2=-9$$
$$6x^2+24x+18=0$$
$$x^2+4x+3=0.$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.$$

$$x_1=\frac{-4-2}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{-4+2}{2}=-1.$$

Тогда

$$y_1=3+7(-3)=-18,\qquad y_2=3+7(-1)=-4.$$

Ответ: $$(-3; -18),\ (-1; -4).$$

4) Из второго уравнения $$x=12-5y.$$ Подставим в первое:

$$y^2-xy+x=2$$
$$y^2-y(12-5y)+(12-5y)=2$$
$$y^2-12y+5y^2+12-5y=2$$
$$6y^2-17y+10=0.$$

$$D=17^2-4\cdot 6\cdot 10=289-240=49.$$

$$y_1=\frac{17-7}{2\cdot 6}=\frac{5}{6},\qquad y_2=\frac{17+7}{2\cdot 6}=2.$$

Тогда

$$x_1=12-5\cdot \frac{5}{6}=\frac{47}{6},\qquad x_2=12-5\cdot 2=2.$$

Ответ: $$\left(\frac{47}{6}; \frac{5}{6}\right),\ (2; 2).$$

5) Из первого уравнения $$x=\frac{4+3y}{4}.$$ Подставим во второе:

$$5y^2-16x=16$$
$$5y^2-16\cdot \frac{4+3y}{4}=16$$
$$5y^2-4(4+3y)=16$$
$$5y^2-16-12y=16$$
$$5y^2-12y-32=0.$$

$$D=12^2+4\cdot 5\cdot 32=144+640=784.$$

$$y_1=\frac{12-28}{2\cdot 5}=-\frac{8}{5},\qquad y_2=\frac{12+28}{2\cdot 5}=4.$$

Тогда

$$x_1=\frac{4+3\left(-\frac{8}{5}\right)}{4}=-\frac{2}{5},\qquad x_2=\frac{4+3\cdot 4}{4}=4.$$

Ответ: $$\left(-\frac{2}{5}; -\frac{8}{5}\right),\ (4; 4).$$

6) Из первого уравнения $$x=2-4y.$$ Подставим во второе:

$$(x-4)(y+3)=4$$
$$((2-4y)-4)(y+3)=4$$
$$(-2-4y)(y+3)=4$$
$$-4y^2-14y-6=4$$
$$4y^2+14y+10=0$$
$$2y^2+7y+5=0.$$

$$D=7^2-4\cdot 2\cdot 5=49-40=9.$$

$$y_1=\frac{-7-3}{2\cdot 2}=-\frac{5}{2},\qquad y_2=\frac{-7+3}{2\cdot 2}=-1.$$

Тогда

$$x_1=2-4\left(-\frac{5}{2}\right)=12,\qquad x_2=2-4(-1)=6.$$

Ответ: $$(12; -2{,}5),\ (6; -1).$$