Упр.129 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
- 1) $$\begin{cases} y=4-x,\\ x^2+3xy=18 \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} x+y=-5,\\ xy=-14 \end{cases}$$
3) $$\begin{cases} x-5y=3,\\ x^2-2xy-y^2=-1 \end{cases}$$
4) $$\begin{cases} x^2+xy-3y=-1,\\ 4x-y=3 \end{cases}$$
5) $$\begin{cases} 3x-2y=9,\\ 4x^2+6y=7 \end{cases}$$
6) $$\begin{cases} 6x+y=5,\\ (x-3)(y+5)=2 \end{cases}$$
1)
$$\begin{aligned} y&=4-x,\\ x^2+3xy&=18. \end{aligned}$$
Подставим $$y=4-x$$ во второе уравнение:
$$x^2+3x(4-x)=18,$$
$$x^2+12x-3x^2=18,$$
$$2x^2-12x+18=0,$$
$$x^2-6x+9=0,$$
$$(x-3)^2=0.$$
Отсюда $$x=3$$, тогда
$$y=4-3=1.$$
Ответ: $$(3;1).$$
2)
$$\begin{aligned} x+y&=-5,\\ xy&=-14. \end{aligned}$$
Из первого уравнения:
$$y=-x-5.$$
Подставим во второе:
$$x(-x-5)=-14,$$
$$x^2+5x-14=0.$$
$$D=5^2+4\cdot 14=81.$$
Тогда
$$x_1=\frac{-5-9}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-5+9}{2}=2.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=-(-7)-5=2,\qquad y_2=-2-5=-7.$$
Ответ: $$(-7;2),\ (2;-7).$$
3)
$$\begin{aligned} x-5y&=3,\\ x^2-2xy-y^2&=-1. \end{aligned}$$
Из первого уравнения:
$$x=3+5y.$$
Подставим во второе:
$$(3+5y)^2-2y(3+5y)-y^2=-1,$$
$$9+30y+25y^2-6y-10y^2-y^2=-1,$$
$$14y^2+24y+10=0,$$
$$7y^2+12y+5=0.$$
$$D=12^2-4\cdot 7\cdot 5=4.$$
Тогда
$$y_1=\frac{-12-2}{14}=-1,\qquad y_2=\frac{-12+2}{14}=-\frac57.$$
Найдём $$x$$:
$$x_1=3+5(-1)=-2,\qquad x_2=3+5\left(-\frac57\right)=-\frac47.$$
Ответ: $$(-2;-1),\ \left(-\frac47;-\frac57\right).$$
4)
$$\begin{aligned} x^2+xy-3y&=-1,\\ 4x-y&=3. \end{aligned}$$
Из второго уравнения:
$$y=4x-3.$$
Подставим в первое:
$$x^2+x(4x-3)-3(4x-3)=-1,$$
$$x^2+4x^2-3x-12x+9=-1,$$
$$5x^2-15x+10=0,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$(x-1)(x-2)=0.$$
Отсюда $$x_1=1,\ x_2=2$$. Тогда
$$y_1=4\cdot 1-3=1,\qquad y_2=4\cdot 2-3=5.$$
Ответ: $$(1;1),\ (2;5).$$
5)
$$\begin{aligned} 3x-2y&=9,\\ 4x^2+6y&=7. \end{aligned}$$
Из первого уравнения:
$$2y=3x-9,\qquad y=\frac32(x-3).$$
Подставим во второе:
$$4x^2+6\cdot \frac32(x-3)=7,$$
$$4x^2+9x-27=7,$$
$$4x^2+9x-34=0.$$
$$D=9^2+4\cdot 4\cdot 34=625.$$
Тогда
$$x_1=\frac{-9-25}{8}=-\frac{17}{4},\qquad x_2=\frac{-9+25}{8}=2.$$
Найдём $$y$$:
$$y_1=\frac32\left(-\frac{17}{4}-3\right)=-\frac{87}{8},\qquad y_2=\frac32(2-3)=-\frac32.$$
Ответ: $$\left(-\frac{17}{4};-\frac{87}{8}\right),\ (2;-\frac32).$$
6)
$$\begin{aligned} 6x+y&=5,\\ (x-3)(y+5)&=2. \end{aligned}$$
Из первого уравнения:
$$y=5-6x.$$
Подставим во второе:
$$(x-3)\bigl((5-6x)+5\bigr)=2,$$
$$(x-3)(10-6x)=2,$$
$$-6x^2+28x-30=2,$$
$$-6x^2+28x-32=0,$$
$$3x^2-14x+16=0.$$
$$D=14^2-4\cdot 3\cdot 16=4.$$
Тогда
$$x_1=\frac{14-2}{6}=2,\qquad x_2=\frac{14+2}{6}=\frac83.$$
Найдём $$y$$:
$$y_1=5-6\cdot 2=-7,\qquad y_2=5-6\cdot \frac83=-11.$$
Ответ: $$(2;-7),\ \left(\frac83;-11\right).$$
