Упр.129 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. $$\begin{cases} x=2+y, \\ y^2-2xy=3; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} x+y=7, \\ xy=12; \end{cases}$$
3. $$\begin{cases} y+4x=6, \\ x^2+3xy-y^2=3; \end{cases}$$
4. $$\begin{cases} x^2-xy+y=16, \\ 3y-x=14. \end{cases}$$

1) Из первого уравнения $$x=2+y.$$ Подставим во второе:

$$y^2-2xy=3$$

$$y^2-2y(2+y)=3$$

$$y^2-4y-2y^2=3$$

$$y^2+4y+3=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

$$y_1=\frac{-4-2}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-4+2}{2}=-1$$

Тогда

$$x_1=2+(-3)=-1,\qquad x_2=2+(-1)=1.$$

Ответ: $$(-1;\,-3),\ (1;\,-1).$$

2) Из первого уравнения $$y=7-x.$$ Подставим во второе:

$$x(7-x)=12$$

$$x^2-7x+12=0$$

$$D=7^2-4\cdot 12=49-48=1$$

$$x_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{7+1}{2}=4$$

Тогда

$$y_1=7-3=4,\qquad y_2=7-4=3.$$

Ответ: $$(3;\,4),\ (4;\,3).$$

3) Из первого уравнения $$y=6-4x.$$ Подставим во второе:

$$x^2+3xy-y^2=3$$

$$x^2+3x(6-4x)-(6-4x)^2=3$$

$$x^2+18x-12x^2-(36-48x+16x^2)=3$$

$$-27x^2+66x-39=0$$

$$9x^2-22x+13=0$$

$$D=22^2-4\cdot 9\cdot 13=484-468=16$$

$$x_1=\frac{22-4}{18}=1,\qquad x_2=\frac{22+4}{18}=\frac{13}{9}$$

Тогда

$$y_1=6-4\cdot 1=2,\qquad y_2=6-4\cdot \frac{13}{9}=\frac{2}{9}.$$

Ответ: $$(1;\,2),\ \left(\frac{13}{9};\,\frac{2}{9}\right).$$

4) Из второго уравнения $$x=3y-14.$$ Подставим в первое:

$$x^2-xy+y=16$$

$$(3y-14)^2-y(3y-14)+y=16$$

$$9y^2-84y+196-3y^2+14y+y=16$$

$$6y^2-69y+180=0$$

$$2y^2-23y+60=0$$

$$D=23^2-4\cdot 2\cdot 60=529-480=49$$

$$y_1=\frac{23-7}{4}=4,\qquad y_2=\frac{23+7}{4}=\frac{15}{2}$$

Тогда

$$x_1=3\cdot 4-14=-2,\qquad x_2=3\cdot \frac{15}{2}-14=\frac{17}{2}.$$

Ответ: $$(-2;\,4),\ \left(\frac{17}{2};\,\frac{15}{2}\right).$$

5) Из первого уравнения $$x=\frac{3-3y}{2}.$$ Подставим во второе:

$$3y^2-4x=18$$

$$3y^2-4\cdot \frac{3-3y}{2}=18$$

$$3y^2-6+6y=18$$

$$3y^2+6y-24=0$$

$$y^2+2y-8=0$$

$$D=2^2+4\cdot 8=36$$

$$y_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-2+6}{2}=2$$

Тогда

$$x_1=\frac{3-3(-4)}{2}=\frac{15}{2},\qquad x_2=\frac{3-3\cdot 2}{2}=-\frac{3}{2}.$$

Ответ: $$\left(\frac{15}{2};\,-4\right),\ \left(-\frac{3}{2};\,2\right).$$

6) Из первого уравнения $$y=-7-5x.$$ Подставим во второе:

$$(x+4)(y-5)=-4$$

$$(x+4)(-7-5x-5)=-4$$

$$(x+4)(-5x-12)=-4$$

$$-5x^2-32x-48=-4$$

$$5x^2+32x+44=0$$

$$D=32^2-4\cdot 5\cdot 44=1024-880=144$$

$$x_1=\frac{-32-12}{10}=-\frac{22}{5},\qquad x_2=\frac{-32+12}{10}=-2$$

Тогда

$$y_1=-7-5\left(-\frac{22}{5}\right)=15,\qquad y_2=-7-5(-2)=3.$$

Ответ: $$\left(-\frac{22}{5};\,15\right),\ (-2;\,3).$$