Упр.126 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$|x^2+2x-4|<4$$;
2) $$|x^2-6x|>7$$;
3) $$|x+3|(x-6)\geq 4x$$;
4) $$x^2+9|x|<10$$;
5) $$x^2-4x+6>|x+2|$$;
6) $$x^2-3|x-3|+8\leq 5|x+2|$$.
1) Рассмотрим случаи.
Если $$x^2+2x-4>0,$$ то
$$x^2+2x-4<4 \\\\ x^2+2x-8<0 \\\\ (x+4)(x-2)<0$$
Отсюда $$-4<x<2.$$
Если $$x^2+2x-4<0,$$ то
$$x^2+2x-4>-4 \\\\ x^2+2x>0 \\\\ x(x+2)>0$$
Отсюда $$x<-2$$ или $$x>0.$$
С учётом условия $$x^2+2x-4<0$$ получаем $$x\in(-4;-2)\cup(0;2).$$
Ответ: $$x\in(-4;-2)\cup(0;2).$$
2) $$|x^2-6x|>7.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x^2-6x\ge 0,$$ то
$$x^2-6x>7 \\\\ x^2-6x-7>0 \\\\ (x+1)(x-7)>0$$
Отсюда $$x<-1$$ или $$x>7.$$
С учётом условия $$x^2-6x\ge 0$$ имеем $$x\le 0$$ или $$x\ge 6,$$ значит подходит
$$x\in(-\infty;-1)\cup(7;+\infty).$$
Если $$x^2-6x<0,$$ то
$$x^2-6x<-7 \\\\ x^2-6x+7<0 \\\\ x=3\pm\sqrt2$$
Тогда
$$3-\sqrt2<x<3+\sqrt2.$$
С учётом условия $$0<x<6$$ получаем тот же промежуток.
Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup(3-\sqrt2;3+\sqrt2)\cup(7;+\infty).$$
3) $$|x+3|(x-6)\ge 4x.$$
Если $$x\ge -3,$$ то $$|x+3|=x+3,$$ и
$$(x+3)(x-6)\ge 4x \\\\ x^2-7x-18\ge 0 \\\\ (x+2)(x-9)\ge 0$$
Отсюда $$x\le -2$$ или $$x\ge 9.$$ С учётом $$x\ge -3$$ получаем $$x\in[-2;+\infty)\cap[-3;+\infty),$$ то есть $$x\in[-2;+\infty).$$
Если $$x<-3,$$ то $$|x+3|=-(x+3),$$ и
$$-(x+3)(x-6)\ge 4x \\\\ x^2+x-18\le 0$$
Корни уравнения $$x^2+x-18=0$$:
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{73}}{2}.$$
Тогда
$$\frac{-1-\sqrt{73}}{2}\le x\le \frac{-1+\sqrt{73}}{2}.$$
С учётом $$x<-3$$ получаем
$$x\in\left[\frac{-1-\sqrt{73}}{2};-3\right).$$
Объединяя, имеем
Ответ: $$x\in\left[\frac{-1-\sqrt{73}}{2};-3\right)\cup[-2;+\infty).$$
4) $$x^2+9|x|<10.$$
Если $$x\ge 0,$$ то
$$x^2+9x<10 \\\\ x^2+9x-10<0 \\\\ (x+10)(x-1)<0$$
Отсюда $$-10<x<1.$$ С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$x\in[0;1).$$
Если $$x<0,$$ то
$$x^2-9x<10 \\\\ x^2-9x-10<0 \\\\ (x+1)(x-10)<0$$
Отсюда $$-1<x<10.$$ С учётом $$x<0$$ получаем $$x\in(-1;0).$$
Итак,
Ответ: $$x\in(-1;1).$$
5) $$x^2-4x+6>|x+2|.$$
Если $$x\ge -2,$$ то $$|x+2|=x+2,$$ и
$$x^2-4x+6>x+2 \\\\ x^2-5x+4>0 \\\\ (x-1)(x-4)>0$$
Отсюда $$x<1$$ или $$x>4.$$ С учётом $$x\ge -2$$ получаем $$x\in[-2;1)\cup(4;+\infty).$$
Если $$x<-2,$$ то $$|x+2|=-(x+2),$$ и
$$x^2-4x+6>-x-2 \\\\ x^2-3x+8>0$$
Так как $$D=9-32=-23<0$$ и старший коэффициент положителен, то $$x^2-3x+8>0$$ при всех $$x.$$ Значит, при $$x<-2$$ неравенство выполняется.
Итак,
Ответ: $$x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty).$$
6) $$x^2-3|x-3|+8\le 5|x+2|.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ $$|x+2|=x+2,$$ и
$$x^2-3(x-3)+8\le 5(x+2) \\\\ x^2-8x+7\le 0 \\\\ (x-1)(x-7)\le 0$$
Отсюда $$1\le x\le 7.$$ С учётом $$x\ge 3$$ получаем $$x\in[3;7].$$
Если $$-2\le x<3,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ $$|x+2|=x+2,$$ и
$$x^2-3(3-x)+8\le 5(x+2) \\\\ x^2-2x-11\le 0$$
Корни:
$$x=1\pm 2\sqrt3.$$
Тогда
$$1-2\sqrt3\le x\le 1+2\sqrt3.$$
С учётом $$-2\le x<3$$ получаем $$x\in[-2;3).$$
Если $$x<-2,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ $$|x+2|=-(x+2),$$ и
$$x^2-3(3-x)+8\le -5(x+2) \\\\ x^2+8x+9\le 0$$
Корни:
$$x=-4\pm\sqrt7.$$
Тогда
$$-4-\sqrt7\le x\le -4+\sqrt7.$$
С учётом $$x<-2$$ получаем $$x\in[-4-\sqrt7;-2).$$
Объединяя все случаи, имеем
Ответ: $$x\in[-4-\sqrt7;7].$$
