Упр.126 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$|x^2-x-8|<12$$;
2) $$|x^2-2x|\geq3$$;
3) $$|x-3|(x+1)\geq4x$$;
4) $$x^2-2|x|<15$$;
5) $$x^2-7x+12>|x-4|$$;
6) $$|x|\cdot|x-3|+x-2<0$$.
$$|x^2-x-8|<12$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x^2-x-8\ge 0,$$ то
$$x^2-x-8<12$$
$$x^2-x-20<0$$
$$D=1+80=81,$$
$$x_1=-4,\quad x_2=5,$$
значит, $$-4<x<5.$$
2) Если $$x^2-x-8<0,$$ то
$$-(x^2-x-8)<12$$
$$x^2-x+4>0.$$
Так как $$D=1-16=-15<0$$ и $$a>0,$$ неравенство верно при всех $$x.$$
Объединяя случаи, получаем:
$$x\in(-4;5).$$
$$|x^2-2x|\ge 3$$
Если $$x^2-2x\ge 0,$$ то $$x\le 0$$ или $$x\ge 2.$$ Тогда
$$x^2-2x\ge 3$$
$$x^2-2x-3\ge 0$$
$$(x+1)(x-3)\ge 0,$$
откуда $$x\le -1$$ или $$x\ge 3.$$
Если $$0<x<2,$$ то $$x^2-2x<0,$$ и
$$-(x^2-2x)\ge 3$$
$$x^2-2x+3\le 0.$$
Но $$D=4-12=-8<0,$$ значит, решений нет.
Итак,
$$x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$
$$|x-3|(x+1)\ge 4x$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и
$$(x-3)(x+1)\ge 4x$$
$$x^2-6x-3\ge 0.$$
Корни:
$$x=3\pm 2\sqrt3.$$
С учётом условия $$x\ge 3$$ получаем $$x\ge 3+2\sqrt3.$$
2) Если $$x<3,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ и
$$(3-x)(x+1)\ge 4x$$
$$-x^2-2x+3\ge 4x$$
$$x^2+6x-3\le 0.$$
Корни:
$$x=-3\pm 2\sqrt3.$$
С учётом условия $$x<3$$ получаем
$$-3-2\sqrt3\le x\le -3+2\sqrt3.$$
Итак,
$$x\in[-3-2\sqrt3;\,-3+2\sqrt3]\cup[3+2\sqrt3;\,+\infty).$$
$$x^2-2|x|<15$$
Положим $$t=|x|\ge 0.$$ Тогда $$x^2=t^2,$$ и неравенство принимает вид
$$t^2-2t-15<0$$
$$(t-5)(t+3)<0.$$
Отсюда $$-3<t<5.$$ С учётом $$t\ge 0$$ получаем $$0\le t<5,$$ то есть
$$|x|<5.$$
Следовательно,
$$x\in(-5;5).$$
$$x^2-7x+12>|x-4|$$
Если $$x\ge 4,$$ то $$|x-4|=x-4,$$ и
$$x^2-7x+12>x-4$$
$$x^2-8x+16>0$$
$$(x-4)^2>0,$$
то есть $$x\ne 4.$$ При $$x\ge 4$$ это даёт $$x>4.$$
Если $$x<4,$$ то $$|x-4|=4-x,$$ и
$$x^2-7x+12>4-x$$
$$x^2-6x+8>0$$
$$(x-2)(x-4)>0.$$
С учётом $$x<4$$ получаем $$x<2.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty).$$
$$|x|\cdot|x-3|+x-2<0$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge 3,$$ то $$|x|=x,$$ $$|x-3|=x-3,$$ и
$$x(x-3)+x-2<0$$
$$x^2-2x-2<0.$$
Корни:
$$x=1\pm\sqrt3.$$
С учётом $$x\ge 3$$ решений нет.
2) Если $$0\le x<3,$$ то $$|x|=x,$$ $$|x-3|=3-x,$$ и
$$x(3-x)+x-2<0$$
$$-x^2+4x-2<0$$
$$x^2-4x+2>0.$$
Корни:
$$x=2\pm\sqrt2.$$
Тогда при $$0\le x<3$$ получаем $$0\le x<2-\sqrt2$$ или $$2+\sqrt2<x<3.$$
3) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ $$|x-3|=3-x,$$ и
$$(-x)(3-x)+x-2<0$$
$$x^2-4x-2<0.$$
Корни:
$$x=2\pm\sqrt6.$$
С учётом $$x<0$$ получаем $$2-\sqrt6<x<0.$$
Объединяя все случаи, имеем
$$x\in(2-\sqrt6;\,2-\sqrt2)\cup(2+\sqrt2;\,3).$$
