Упр.126 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$|x^2-x-3|<9$$;
   2) $$|x^2+6x|>6$$;
   3) $$|x-4|(x+2)>4x$$;
   4) $$x^2-4|x|<12$$;
   5) $$x^2-5x+9>|x-6|$$;
   6) $$x^2+2|x-1|+7<4|x-2|$$.

1) Рассмотрим два случая.

Если $$x^2-x-3>0,$$ то

$$x^2-x-3<9 \\\\ x^2-x-12<0 \\\\ (x+3)(x-4)<0 \\\\ -3<x<4.$$

Если $$x^2-x-3<0,$$ то

$$x^2-x-3>-9 \\\\ x^2-x+6>0.$$

Так как $$D=1-24=-23<0,$$ а старший коэффициент положителен, то неравенство верно при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Следовательно, $$x\in(-3;4).$$

2) $$|x^2+5x|>6.$$

Рассмотрим случаи по знаку выражения под модулем.

Если $$x^2+5x\ge 0,$$ то $$x\le -5$$ или $$x\ge 0.$$ Тогда

$$x^2+5x>6 \\\\ x^2+5x-6>0 \\\\ (x+6)(x-1)>0 \\\\ x<-6 \text{ или } x>1.$$

С учётом условия $$x\le -5$$ или $$x\ge 0$$ получаем:

$$x\in(-\infty;-6)\cup(1;+\infty).$$

Если $$-5<x<0,$$ то $$x^2+5x<0,$$ значит

$$x^2+5x<-6 \\\\ x^2+5x+6<0 \\\\ (x+3)(x+2)<0 \\\\ -3<x<-2.$$

Итак,

$$x\in(-\infty;-6)\cup(-3;-2)\cup(1;+\infty).$$

3) $$|x-4|(x+2)>4x.$$

Если $$x\ge 4,$$ то $$|x-4|=x-4,$$ и

$$(x-4)(x+2)>4x \\\\ x^2-6x-8>0 \\\\ (x-(3-\sqrt{17}))(x-(3+\sqrt{17}))>0.$$

С учётом $$x\ge 4$$ получаем $$x>3+\sqrt{17}.$$

Если $$x<4,$$ то $$|x-4|=4-x,$$ и

$$(4-x)(x+2)>4x \\\\ -x^2+2x+8>4x \\\\ x^2+2x-8<0 \\\\ (x+4)(x-2)<0 \\\\ -4<x<2.$$

С учётом $$x<4$$ это условие не меняется.

Итак,

$$x\in(-4;2)\cup(3+\sqrt{17};+\infty).$$

4) $$x^2-4|x|<12.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и

$$x^2-4x<12 \\\\ x^2-4x-12<0 \\\\ (x-6)(x+2)<0 \\\\ -2<x<6.$$

С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x<6.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$x^2+4x<12 \\\\ x^2+4x-12<0 \\\\ (x+6)(x-2)<0 \\\\ -6<x<2.$$

С учётом $$x<0$$ получаем $$-6<x<0.$$

Итак, $$x\in(-6;6).$$

5) $$x^2-5x+9>|x-6|.$$

Если $$x\ge 6,$$ то $$|x-6|=x-6,$$ и

$$x^2-5x+9>x-6 \\\\ x^2-6x+15>0.$$

Так как $$D=36-60=-24<0,$$ а старший коэффициент положителен, то неравенство верно при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Если $$x<6,$$ то $$|x-6|=6-x,$$ и

$$x^2-5x+9>6-x \\\\ x^2-4x+3>0 \\\\ (x-1)(x-3)>0 \\\\ x<1 \text{ или } x>3.$$

С учётом $$x<6$$ получаем $$x<1$$ или $$3<x<6.$$

Итак,

$$x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty).$$

6) $$x^2+2|x-1|+7<4|x-2|.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x\ge 2,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ $$|x-2|=x-2,$$ и

$$x^2+2(x-1)+7<4(x-2) \\\\ x^2-2x+13<0.$$

Но $$D=4-52=-48<0,$$ значит решений нет.

Если $$1\le x<2,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ $$|x-2|=2-x,$$ и

$$x^2+2(x-1)+7<4(2-x) \\\\ x^2+6x-3<0.$$

Корни уравнения $$x^2+6x-3=0$$ равны

$$x=-3\pm 2\sqrt{3}.$$

Тогда

$$-3-2\sqrt{3}<x<2\sqrt{3}-3.$$

С учётом $$1\le x<2$$ получаем $$1\le x<2.$$

Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ $$|x-2|=2-x,$$ и

$$x^2+2(1-x)+7<4(2-x) \\\\ x^2+2x+1<0 \\\\ (x+1)^2<0.$$

Решений нет.

Итак, $$x\in[1;2).$$