Упр.125 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Для каждого значения $$a$$ решите неравенство: 1) $$x^2-(a-4)x-4a>0$$; 2) $$x^2+(2-5a)x+6a^2-3a-3<0$$.
1) Рассмотрим неравенство $$x^2-(a-4)x-4a\ge 0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(a-4)^2+16a=a^2+8a+16=(a+4)^2.$$
Тогда корни уравнения $$x^2-(a-4)x-4a=0$$ равны:
$$x_1=\frac{(a-4)-(a+4)}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{(a-4)+(a+4)}{2}=a.$$
Так как старший коэффициент положителен, то
$$x^2-(a-4)x-4a\ge 0 \iff x\le x_1 \text{ или } x\ge x_2.$$
Сравним корни:
$$-4\le a \iff a\ge -4.$$
Значит:
$$\begin{cases} x\in(-\infty;a]\cup[-4;+\infty), & a<-4,\\ x\in(-\infty;+\infty), & a=-4,\\ x\in(-\infty;-4]\cup[a;+\infty), & a>-4. \end{cases}$$
2) Рассмотрим неравенство $$x^2+(2-5a)x+6a^2-3a-3<0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(2-5a)^2-4(6a^2-3a-3)=a^2-8a+16=(a-4)^2.$$
Корни уравнения $$x^2+(2-5a)x+6a^2-3a-3=0$$:
$$x_1=\frac{-(2-5a)-(a-4)}{2}=2a+1,\qquad x_2=\frac{-(2-5a)+(a-4)}{2}=3a-3.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то
$$x^2+(2-5a)x+6a^2-3a-3<0 \iff x\in(x_1;x_2),$$
если $$x_1<x_2.$$ Сравним корни:
$$2a+1<3a-3 \iff a>4.$$
При $$a=4$$ получаем $$D=0$$, а неравенство вида $$x^2-18x+45<0$$ решений не имеет, так как выражение равно $$0$$ только в одной точке.
Итак:
$$\begin{cases} x\in(2a+1;3a-3), & a>4,\\ x\notin\mathbb{R}, & a=4,\\ x\in(3a-3;2a+1), & a<4. \end{cases}$$
