Упр.125 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Для каждого значения $$a$$ решите неравенство:
- 1) $$x^2-(a-2)x-2a\geq 0$$; 2) $$x^2-3ax+2a^2-a-1<0$$.
1) Рассмотрим неравенство $$x^2-(a-2)x-2a\ge 0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(a-2)^2-4\cdot 1\cdot(-2a)=a^2-4a+4+8a=a^2+4a+4=(a+2)^2.$$
Тогда корни уравнения $$x^2-(a-2)x-2a=0$$ равны:
$$x_1=\frac{a-2-(a+2)}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{a-2+(a+2)}{2}=a.$$
Так как старший коэффициент положителен, то
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge a.$$
Теперь учитываем взаимное расположение корней:
- если $$a<-2,$$ то $$a<-2,$$ и решение: $$x\in(-\infty;a]\cup[-2;+\infty);$$
- если $$a=-2,$$ то корни совпадают, и решение: $$x\in(-\infty;+\infty);$$
- если $$a>-2,$$ то $$-2<a,$$ и решение: $$x\in(-\infty;-2]\cup[a;+\infty).$$
2) Рассмотрим неравенство $$x^2-3ax+2a^2-a-1<0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(3a)^2-4(2a^2-a-1)=9a^2-8a^2+4a+4=a^2+4a+4=(a+2)^2.$$
Корни уравнения $$x^2-3ax+2a^2-a-1=0$$:
$$x_1=\frac{3a-(a+2)}{2}=a-1,\qquad x_2=\frac{3a+(a+2)}{2}=2a+1.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то
$$(x-x_1)(x-x_2)<0,$$
то есть $$x$$ лежит между корнями. Сравним их:
$$a-1-(2a+1)=-a-2.$$
Значит:
- если $$a<-2,$$ то $$2a+1<a-1,$$ и решение: $$x\in(2a+1;\,a-1);$$
- если $$a=-2,$$ то корни совпадают, и решение: $$x\in\varnothing;$$
- если $$a>-2,$$ то $$a-1<2a+1,$$ и решение: $$x\in(a-1;\,2a+1).$$
Ответ
1) $$x\in(-\infty;a]\cup[-2;+\infty),\ \text{если } a<-2;$$
$$x\in(-\infty;+\infty),\ \text{если } a=-2;$$
$$x\in(-\infty;-2]\cup[a;+\infty),\ \text{если } a>-2.$$
2) $$x\in(2a+1;\,a-1),\ \text{если } a<-2;$$
$$x\in\varnothing,\ \text{если } a=-2;$$
$$x\in(a-1;\,2a+1),\ \text{если } a>-2.$$
