Упр.125 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Для каждого значения $$a$$ решите неравенство:
- $$x^2-(a+3)x+3a<0$$;
- $$x^2+(1-3a)x+2a^2-3a-2>0$$.
1) Рассмотрим неравенство $$x^2-(a+3)x+3a\le 0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(a+3)^2-4\cdot 3a=a^2-6a+9=(a-3)^2.$$
Тогда корни уравнения $$x^2-(a+3)x+3a=0$$ равны:
$$x_1=\frac{(a+3)-(a-3)}{2}=3,\qquad x_2=\frac{(a+3)+(a-3)}{2}=a.$$
Так как старший коэффициент положителен, то
$$x\in[x_1;x_2]$$
при $$x_1\le x_2$$, то есть при $$a\ge 3.$$
Если $$a<3,$$ то
$$x\in[a;3].$$
При $$a=3$$ получаем один корень $$x=3,$$ поэтому
$$x\in\{3\}.$$
2) Рассмотрим неравенство $$x^2+(1-3a)x+2a^2-3a-2>0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(1-3a)^2-4(2a^2-3a-2)=a^2+6a+9=(a+3)^2.$$
Корни уравнения $$x^2+(1-3a)x+2a^2-3a-2=0$$:
$$x_1=\frac{-(1-3a)-(a+3)}{2}=a-2,$$
$$x_2=\frac{-(1-3a)+(a+3)}{2}=2a+1.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то
$$x<x_1 \quad \text{или} \quad x>x_2.$$
Сравним корни:
$$a-2\le 2a+1 \iff a\ge -3.$$
Если $$a<-3,$$ то $$x_2<x_1,$$ и решение имеет вид
$$x\in(-\infty;2a+1)\cup(a-2;+\infty).$$
Если $$a=-3,$$ то корни совпадают: $$x_1=x_2=-5,$$ поэтому
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$
Если $$a>-3,$$ то
$$x\in(-\infty;a-2)\cup(2a+1;+\infty).$$
Ответ
1) $$x\in[a;3]$$ при $$a<3$$; $$x\in\{3\}$$ при $$a=3$$; $$x\in[3;a]$$ при $$a>3$$.
2) $$x\in(-\infty;2a+1)\cup(a-2;+\infty)$$ при $$a<-3$$; $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty)$$ при $$a=-3$$; $$x\in(-\infty;a-2)\cup(2a+1;+\infty)$$ при $$a>-3$$.
