Упр.123 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$m$$ не имеет решений неравенство:
1) $$mx^2-8mx+3m+7>0$$;
2) $$(2m+1)x^2+2(m+2)x+m+5{,}5\leqslant0$$?
1) Рассмотрим неравенство $$mx^2-8mx+3m+7>0.$$
Чтобы оно не имело решений, квадратный трехчлен должен быть не положителен при всех $$x$$. Для этого при $$m\neq 0$$ нужно, чтобы ветви параболы были направлены вниз и дискриминант был неположителен.
Найдём дискриминант:
$$D=(-8m)^2-4\cdot m\cdot(3m+7)=64m^2-12m^2-28m=52m^2-28m=4m(13m-7).$$
Тогда
$$D\le 0 \iff 4m(13m-7)\le 0 \iff 0\le m\le \frac{7}{13}.$$
Но при $$m>0$$ ветви параболы направлены вверх, и неравенство $$>0$$ имеет решения. При $$m=0$$ получаем $$7>0$$, что верно при всех $$x$$, значит решения есть. При $$m<0$$ ветви направлены вниз, но тогда
$$D=4m(13m-7)>0,$$
поэтому есть точки, где выражение положительно. Следовательно, значений $$m$$, при которых неравенство не имеет решений, нет.
2) Рассмотрим неравенство $$\left(2m+1\right)x^2+2(m+2)x+m+5{,}5\le 0.$$
Чтобы оно не имело решений, нужно, чтобы квадратный трехчлен был строго положительным при всех $$x$$. Для этого ветви параболы должны быть направлены вверх, а дискриминант — отрицателен.
Найдём дискриминант:
$$D=\left(2(m+2)\right)^2-4(2m+1)(m+5{,}5).$$
$$D=4(m+2)^2-4(2m+1)(m+5{,}5).$$
$$D=4(m^2+4m+4)-4(2m^2+12m+5{,}5)=4m^2+16m+16-8m^2-48m-22.$$
$$D=-4m^2-32m-6.$$
Требуем:
$$-4m^2-32m-6<0 \iff 4m^2+32m+6>0 \iff 2m^2+16m+3>0.$$
Найдём корни уравнения $$2m^2+16m+3=0$$:
$$D_1=16^2-4\cdot 2\cdot 3=256-24=232,$$
$$m_{1,2}=\frac{-16\pm \sqrt{232}}{4}=\frac{-16\pm 2\sqrt{58}}{4}=-4\pm \frac{\sqrt{58}}{2}.$$
Тогда
$$2m^2+16m+3>0 \iff m<-4-\frac{\sqrt{58}}{2}\ \text{или}\ m>-4+\frac{\sqrt{58}}{2}.$$
Кроме того, ветви параболы направлены вверх, если
$$2m+1>0 \iff m>-\frac12.$$
Пересечение условий даёт
$$m>-4+\frac{\sqrt{58}}{2}.$$
Ответ
1) $$m\in\varnothing.$$
2) $$m>-4+\frac{\sqrt{58}}{2}.$$
