Упр.123 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$m$$ не имеет решений неравенство:
   1) $$mx^2-2mx+m-9>0$$;
   2) $$(3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2\leqslant0$$?

1) Рассмотрим квадратное неравенство $$mx^2-2mx+m-9>0.$$

Чтобы оно не имело решений, парабола должна быть направлена вниз и не пересекать ось абсцисс, то есть

$$D\le 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-2m)^2-4\cdot m\cdot (m-9)=4m^2-4m^2+36m=36m.$$

Тогда

$$36m\le 0 \quad \Rightarrow \quad m\le 0.$$

При $$m<0$$ ветви параболы направлены вниз, значит неравенство действительно не имеет решений. При $$m=0$$ получаем $$-9>0$$, что также неверно.

Ответ: $$m\in(-\infty;0].$$

2) Рассмотрим неравенство $$\left(3m-4\right)x^2+2(m-2)x+m-2\le 0.$$

Чтобы оно не имело решений, нужно, чтобы парабола была направлена вверх и не пересекала ось абсцисс, то есть

$$D<0 \quad \text{и} \quad 3m-4>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=\left(2(m-2)\right)^2-4(3m-4)(m-2).$$

Упростим:

$$D=4(m-2)^2-4(3m-4)(m-2)$$

$$D=4\bigl((m-2)^2-(3m-4)(m-2)\bigr)$$

$$D=-8m^2+24m-16.$$

Тогда

$$-8m^2+24m-16<0.$$

Разделим на $$-8$$, изменив знак неравенства:

$$m^2-3m+2>0.$$

Разложим на множители:

$$\left(m-1\right)\left(m-2\right)>0,$$

откуда

$$m<1 \quad \text{или} \quad m>2.$$

Теперь учтём условие

$$3m-4>0 \quad \Rightarrow \quad m>\frac{4}{3}.$$

Пересечение условий даёт

$$m>2.$$

Ответ: $$m\in(2;+\infty).$$