Упр.123 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$m$$ не имеет решений неравенство:
1) $$mx^2+5mx+4m+3<0$$;
2) $$\left(3m-2\right)x^2-2\left(2m-1\right)x+2m-1\geq0$$?
1) Рассмотрим неравенство $$mx^2+5mx+4m+3<0.$$
Чтобы оно не имело решений, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox$$, то есть
$$D\le 0,\quad m>0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(5m)^2-4\cdot m\cdot(4m+3)=25m^2-16m^2-12m=9m^2-12m=3m(3m-4).$$
Тогда
$$3m(3m-4)\le 0,$$
откуда
$$0\le m\le \frac43.$$
С учётом условия $$m>0$$ получаем
$$m\in\left(0;\frac43\right].$$
2) Рассмотрим неравенство $$\left(3m-2\right)x^2-2(2m-1)x+2m-1\ge 0.$$
Чтобы оно не имело решений, парабола должна быть направлена вниз и не пересекать ось $$Ox$$, то есть
$$D<0,\quad 3m-2<0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=\left[-2(2m-1)\right]^2-4(3m-2)(2m-1).$$
$$D=4(2m-1)^2-4(3m-2)(2m-1).$$
$$D=4(2m-1)\bigl((2m-1)-(3m-2)\bigr)=4(2m-1)(1-m).$$
Условие $$D<0$$ даёт
$$4(2m-1)(1-m)<0,$$
то есть
$$(2m-1)(1-m)<0.$$
Решая это неравенство, получаем
$$m<\frac12 \quad \text{или} \quad m>1.$$
Теперь учтём условие $$3m-2<0$$, то есть
$$m<\frac23.$$
Пересечение условий:
$$m<\frac12.$$
Ответ: 1) $$m\in\left(0;\frac43\right]$$; 2) $$m\in\left(-\infty;\frac12\right).$$
