Упр.122 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите значения $$a$$, при которых для всех действительных значений $$x$$ выполняется неравенство:
1) $$x^2-2(a-6)x-2a^2-2a+33>0$$;
2) $$-\frac{1}{6}x^2-4ax-18a^2-24\leqslant 0$$;
3) $$ax^2+6x+3a-6<0$$;
4) $$(a^2-1)x^2+2(1-a)x+2\geqslant 0$$.
1) Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно $$x$$:
$$x^2-2(a-6)x-2a^2-2a+33>0.$$
Чтобы неравенство выполнялось при всех действительных $$x$$, нужно, чтобы ветви параболы были направлены вверх и дискриминант был отрицателен:
$$D=[-2(a-6)]^2-4\cdot 1\cdot(-2a^2-2a+33)=12a^2-40a+12.$$
Тогда
$$12a^2-40a+12<0,$$
$$3a^2-10a+3<0.$$
Найдём корни:
$$D_1=100-36=64,$$
$$a_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}, \quad a_1=\frac13,\ a_2=3.$$
Следовательно,
$$\frac13<a<3.$$
2) Рассмотрим неравенство
$$-\frac16x^2-4ax-18a^2-24\le 0.$$
Чтобы оно выполнялось при всех $$x$$, достаточно, чтобы ветви параболы были направлены вниз и дискриминант был не положителен:
$$D=(-4a)^2-4\cdot\left(-\frac16\right)\cdot(-18a^2-24)=4a^2-16.$$
Тогда
$$4a^2-16\le 0,$$
$$a^2-4\le 0,$$
$$-2\le a\le 2.$$
3) Рассмотрим неравенство
$$ax^2+6x+3a-6<0.$$
Чтобы оно выполнялось при всех $$x$$, парабола должна быть направлена вниз, а дискриминант — отрицателен:
$$D=6^2-4a(3a-6)=36-12a^2+24a.$$
Тогда
$$36-12a^2+24a<0,$$
$$a^2-2a-3>0,$$
$$(a+1)(a-3)>0.$$
Отсюда
$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>3.$$
С учётом условия на направление ветвей параболы $$a<0$$ получаем:
$$a\in(-\infty;-1).$$
4) Рассмотрим неравенство
$$(a^2-1)x^2+2(1-a)x+2\ge 0.$$
Чтобы оно выполнялось при всех $$x$$, нужно, чтобы ветви параболы были направлены вверх и дискриминант был не положителен:
$$D=[2(1-a)]^2-4(a^2-1)\cdot 2=-4a^2-8a+12.$$
Тогда
$$-4a^2-8a+12\le 0,$$
$$a^2+2a-3\ge 0,$$
$$(a+3)(a-1)\ge 0,$$
$$a\le -3 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$
Кроме того,
$$a^2-1>0,$$
то есть
$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>1.$$
Пересечение условий даёт:
$$a\in(-\infty;-3]\cup(1;+\infty).$$
Ответ
1) $$a\in\left(\frac13;3\right)$$; 2) $$a\in[-2;2]$$; 3) $$a\in(-\infty;-1)$$; 4) $$a\in(-\infty;-3]\cup(1;+\infty)$$.
