Упр.122 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите значения $$a$$, при которых при всех действительных значениях $$x$$ выполняется неравенство:
1) $$x^2-2(a+1)x+2a^2-a+1>0$$;
2) $$-\frac{1}{2}x^2-2ax+8a^2-4a\leq0$$;
3) $$ax^2+8x-a+10>0$$;
4) $$(4-a^2)x^2+2(a-2)x+1\leq0$$.
1) Рассмотрим квадратный трёхчлен $$x^2-2(a+1)x+2a^2-a+1.$$
Чтобы неравенство $$x^2-2(a+1)x+2a^2-a+1>0$$ выполнялось при всех действительных $$x$$, нужно, чтобы ветви параболы были направлены вверх и дискриминант был отрицателен:
$$D=[-2(a+1)]^2-4(2a^2-a+1)=4(a+1)^2-8a^2+4a-4=12a-4a^2.$$
Тогда
$$12a-4a^2<0,$$
$$3a-a^2<0,$$
$$a(a-3)>0.$$
Отсюда
$$a<0 \text{ или } a>3.$$
2) Для неравенства $$-\frac12x^2-2ax+8a^2-4a\le 0$$ ветви параболы направлены вниз, поэтому оно будет верно при всех $$x$$, если дискриминант не положителен:
$$D=(-2a)^2-4\cdot\left(-\frac12\right)(8a^2-4a)=4a^2+16a^2-8a=20a^2-8a.$$
Тогда
$$20a^2-8a\le 0,$$
$$4a(5a-2)\le 0,$$
$$a(5a-2)\le 0.$$
Следовательно,
$$0\le a\le \frac25.$$
3) Рассмотрим неравенство $$ax^2+8x-a+10>0.$$
Чтобы оно выполнялось при всех действительных $$x$$, нужно, чтобы ветви параболы были направлены вверх и дискриминант был отрицателен:
$$D=8^2-4a(10-a)=64-40a+4a^2.$$
Тогда
$$4a^2-40a+64<0,$$
$$a^2-10a+16<0,$$
$$(a-2)(a-8)<0.$$
Отсюда
$$2<a<8.$$
4) Для неравенства $$\left(4-a^2\right)x^2+2(a-2)x+1\le 0$$ при всех $$x$$ необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вниз и дискриминант не превосходил нуля.
Вычислим дискриминант:
$$D=[2(a-2)]^2-4(4-a^2)=4(a-2)^2-16+4a^2=8a^2-16a.$$
Тогда
$$8a^2-16a\le 0,$$
$$a(a-2)\le 0,$$
$$0\le a\le 2.$$
Но при этом должно быть
$$4-a^2<0,$$
то есть
$$a<-2 \text{ или } a>2.$$
Пересечения с условием $$0\le a\le 2$$ нет, значит, решений нет.
Ответ
1) $$a\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty).$$
2) $$a\in\left[0;\frac25\right].$$
3) $$a\in(2;8).$$
4) $$\varnothing.$$
