Упр.122 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите значения $$a$$, при которых для всех действительных значений $$x$$ выполняется неравенство:
1) $$x^2+2(a-1)x+4-a-a^2>0$$;
2) $$-\frac{1}{3}x^2+3ax-6a^2-12\leq 0$$;
3) $$ax^2-4x+a+3<0$$;
4) $$(9-a^2)x^2+2(a+3)x+1\geq 0$$.
1) Рассмотрим квадратный трехчлен $$x^2+2(a-1)x+4-a-a^2.$$
Чтобы неравенство $$x^2+2(a-1)x+4-a-a^2>0$$ выполнялось при всех действительных $$x$$, нужно, чтобы ветви параболы были направлены вверх и дискриминант был отрицателен:
$$D=4(a-1)^2-4(4-a-a^2)=8a^2-4a-12.$$
Тогда
$$8a^2-4a-12<0,$$
$$2a^2-a-3<0,$$
$$(2a-3)(a+1)<0.$$
Отсюда
$$-1<a<\frac32.$$
2) Для неравенства $$-\frac13x^2+3ax-6a^2-12\le 0$$ коэффициент при $$x^2$$ отрицателен, значит парабола направлена вниз. Чтобы неравенство выполнялось при всех $$x$$, достаточно и необходимо, чтобы дискриминант был не положителен:
$$D=(3a)^2-4\cdot\left(-\frac13\right)(-6a^2-12)=a^2-16.$$
Тогда
$$a^2-16\le 0,$$
$$-4\le a\le 4.$$
3) Рассмотрим неравенство $$ax^2-4x+a+3<0.$$
Чтобы оно выполнялось при всех действительных $$x$$, парабола должна быть направлена вниз, то есть $$a<0,$$ и дискриминант должен быть отрицателен:
$$D=(-4)^2-4a(a+3)=16-4a^2-12a.$$
Тогда
$$16-4a^2-12a<0,$$
$$a^2+3a-4>0,$$
$$(a+4)(a-1)>0.$$
Отсюда $$a<-4$$ или $$a>1.$$ С учетом условия $$a<0$$ получаем
$$a<-4.$$
4) Для неравенства $$\left(9-a^2\right)x^2+2(a+3)x+1\ge 0$$ при всех $$x$$ нужно, чтобы парабола была направлена вверх и дискриминант был не положителен:
$$D=4(a+3)^2-4(9-a^2)=8a^2+24a.$$
Тогда
$$8a^2+24a\le 0,$$
$$a^2+3a\le 0,$$
$$a(a+3)\le 0,$$
$$-3\le a\le 0.$$
Кроме того,
$$9-a^2>0,$$
$$-3<a<3.$$
Пересечение условий дает
$$-3\le a\le 0.$$
Ответ
1) $$a\in\left(-1;\frac32\right);$$ 2) $$a\in[-4;4];$$ 3) $$a\in(-\infty;-4);$$ 4) $$a\in[-3;0].$$
