Упр.121 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
При каких значениях $$b$$ имеет два различных действительных корня уравнение:
- 1) $$x^2-3bx+2b+5=0$$;
2) $$bx^2+(7b+2)x+b=0$$;
3) $$(b+2)x^2+(3b+1)x-b-1=0$$;
4) $$(2b+10)x^2-(4b+8)x+3b=0$$.
1) Для уравнения $$x^2-3bx+2b+5=0$$ дискриминант равен
$$D=( -3b)^2-4\cdot 1\cdot (2b+5)=9b^2-8b-20.$$
Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, нужно $$D>0$$:
$$9b^2-8b-20>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_1=(-8)^2-4\cdot 9\cdot(-20)=64+720=784,$$
$$b_{1,2}=\frac{8\pm 28}{18},\quad b_1=-\frac{10}{9},\quad b_2=2.$$
Тогда
$$\left(b+\frac{10}{9}\right)(b-2)>0,$$
откуда
$$b<-\frac{10}{9}\quad \text{или}\quad b>2.$$
2) Для уравнения $$bx^2+(7b+2)x+b=0$$ дискриминант равен
$$D=(7b+2)^2-4\cdot b\cdot b=49b^2+28b+4-4b^2=45b^2+28b+4.$$
Требуем $$D>0$$:
$$45b^2+28b+4>0.$$
Найдём корни:
$$D_1=28^2-4\cdot 45\cdot 4=784-720=64,$$
$$b_{1,2}=\frac{-28\pm 8}{90},\quad b_1=-\frac{2}{5},\quad b_2=-\frac{2}{9}.$$
Тогда
$$\left(b+\frac{2}{5}\right)\left(b+\frac{2}{9}\right)>0,$$
откуда
$$b<-\frac{2}{5}\quad \text{или}\quad b>-\frac{2}{9}.$$
Кроме того, при $$b=0$$ уравнение становится линейным, поэтому это значение нужно исключить.
Итак,
$$b\in\left(-\infty;-\frac{2}{5}\right)\cup\left(-\frac{2}{9};0\right)\cup(0;+\infty).$$
3) Для уравнения $$(b+2)x^2+(3b+1)x-b-1=0$$ дискриминант равен
$$D=(3b+1)^2-4(b+2)(-b-1).$$
Упростим:
$$D=9b^2+6b+1+4(b+2)(b+1)=9b^2+6b+1+4b^2+12b+8,$$
$$D=13b^2+18b+9.$$
Проверим знак дискриминанта:
$$D_1=18^2-4\cdot 13\cdot 9=324-468=-144<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, то
$$13b^2+18b+9>0$$
при всех $$b\in\mathbb{R}$$. Значит, при $$b\neq -2$$ уравнение имеет два различных действительных корня.
При $$b=-2$$ уравнение становится линейным.
Следовательно,
$$b\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
4) Для уравнения $$(2b+10)x^2-(4b+8)x+3b=0$$ дискриминант равен
$$D=(4b+8)^2-4(2b+10)\cdot 3b.$$
Упростим:
$$D=16b^2+64b+64-24b^2-120b=-8b^2-56b+64.$$
Требуем $$D>0$$:
$$-8b^2-56b+64>0.$$
Разделим на $$-8$$, изменив знак неравенства:
$$b^2+7b-8<0.$$
Найдём корни:
$$D_1=7^2+4\cdot 8=49+32=81,$$
$$b_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2},\quad b_1=-8,\quad b_2=1.$$
Тогда
$$\left(b+8\right)(b-1)<0,$$
откуда
$$-8<b<1.$$
При $$b=-5$$ старший коэффициент равен нулю, и уравнение становится линейным, поэтому это значение исключаем.
Итак,
$$b\in(-8;-5)\cup(-5;1).$$
Ответ
1) $$b\in\left(-\infty;-\frac{10}{9}\right)\cup(2;+\infty);$$
2) $$b\in\left(-\infty;-\frac{2}{5}\right)\cup\left(-\frac{2}{9};0\right)\cup(0;+\infty);$$
3) $$b\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty);$$
4) $$b\in(-8;-5)\cup(-5;1).$$
