Упр.121 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$b$$ имеет два различных действительных корня уравнение:
1) $$x^2-bx+2b-3=0$$;
2) $$bx^2+(2b-1)x+b=0$$;
3) $$(1-2b)x^2+2(2b+1)x+6b-2=0$$;
4) $$(2b+10)x^2+(b-10)x-b+4=0$$?
1) Для уравнения $$x^2-bx+2b-3=0$$ дискриминант равен
$$D=b^2-4(2b-3)=b^2-8b+12=(b-2)(b-6).$$
Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, нужно $$D>0$$:
$$(b-2)(b-6)>0.$$
Отсюда
$$b<2 \text{ или } b>6.$$
Ответ: $$b\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty).$$
2) Для уравнения $$bx^2+(2b-1)x+b=0$$
$$D=(2b-1)^2-4b\cdot b=4b^2-4b+1-4b^2=1-4b.$$
Чтобы были два различных действительных корня, нужно $$D>0$$:
$$1-4b>0,\qquad b<\frac14.$$
При $$b=0$$ уравнение становится линейным: $$-x=0,$$ и имеет один корень, поэтому $$b=0$$ не подходит.
Ответ: $$b\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac14\right).$$
3) Для уравнения $$(1-2b)x^2+2(2b+1)x+6b-2=0$$
$$D=\bigl(2(2b+1)\bigr)^2-4(1-2b)(6b-2).$$
Упростим:
$$D=4(2b+1)^2-4(1-2b)(6b-2)=64b^2-24b+12.$$
Заметим, что
$$64b^2-24b+12=4(16b^2-6b+3).$$
Для квадратного трёхчлена $$16b^2-6b+3$$ дискриминант равен
$$D_1=(-6)^2-4\cdot16\cdot3=36-192=-156<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит
$$16b^2-6b+3>0$$
при всех $$b$$. Следовательно, $$D>0$$ при всех $$b$$, кроме случая, когда уравнение становится линейным:
$$1-2b=0,\qquad b=\frac12.$$
При $$b=\frac12$$ уравнение имеет один корень, поэтому это значение не подходит.
Ответ: $$b\in\left(-\infty;\frac12\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
4) Для уравнения $$(2b+10)x^2+(b-10)x-b+4=0$$
$$D=(b-10)^2-4(2b+10)(4-b).$$
Упростим:
$$D=b^2-20b+100-4(8b-2b^2+40-10b)=9b^2-12b-60.$$
Чтобы были два различных действительных корня, нужно
$$9b^2-12b-60>0,$$
или
$$3b^2-4b-20>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_1=(-4)^2-4\cdot3\cdot(-20)=16+240=256,$$
$$b_{1,2}=\frac{4\pm16}{6}.$$
Тогда
$$b_1=-2,\qquad b_2=\frac{10}{3}.$$
Следовательно,
$$3b^2-4b-20>0 \iff b<-2 \text{ или } b>\frac{10}{3}.$$
При $$b=-5$$ старший коэффициент равен нулю, и уравнение становится линейным:
$$-x+9=0,$$
то есть имеет один корень, поэтому $$b=-5$$ не подходит.
Ответ: $$b\in(-\infty;-5)\cup(-5;-2)\cup\left(\frac{10}{3};+\infty\right).$$
