Упр.121 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$b$$ имеет два различных действительных корня уравнение:
а) $$x^2-4bx+3b+1=0$$;
б) $$bx^2-(3b+1)x+b=0$$;
в) $$(b-1)x^2-2(b+1)x-3b+2=0$$;
г) $$(3b-2)x^2-(5b+2)x+5b-1=0$$.
$$x^2-4bx+3b+1=0$$
Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, нужно $$D>0$$:
$$D=( -4b)^2-4(3b+1)=16b^2-12b-4.$$
Решим неравенство:
$$16b^2-12b-4>0$$
$$4b^2-3b-1>0$$
$$4b^2-3b-1=(4b+1)(b-1).$$
Тогда
$$b<-\frac14 \text{ или } b>1.$$
$$bx^2-(3b+1)x+b=0$$
Если $$b\neq 0$$, то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
$$D=(3b+1)^2-4b^2=9b^2+6b+1-4b^2=5b^2+6b+1.$$
Требуем $$D>0$$:
$$5b^2+6b+1>0$$
$$5b^2+6b+1=(5b+1)(b+1).$$
Отсюда
$$b<-1 \text{ или } b>-\frac15.$$
Но при $$b=0$$ уравнение становится линейным: $$-x=0$$, и имеет один корень, поэтому $$b=0$$ не подходит.
Итак,
$$b\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac15;0\right)\cup(0;+\infty).$$
$$(b-1)x^2-2(b+1)x-3b+2=0$$
При $$b\neq 1$$ это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
$$D=[-2(b+1)]^2-4(b-1)(-3b+2).$$
$$D=4(b+1)^2+4(b-1)(3b-2).$$
$$D=4(b^2+2b+1)+4(3b^2-5b+2)=16b^2-12b+12.$$
Проверим знак:
$$16b^2-12b+12=4(4b^2-3b+3).$$
У квадратного трёхчлена $$4b^2-3b+3$$ дискриминант
$$D_1=(-3)^2-4\cdot 4\cdot 3=9-48=-39<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит $$4b^2-3b+3>0$$ при всех $$b$$. Следовательно, $$D>0$$ для всех $$b\neq 1$$.
При $$b=1$$ уравнение становится линейным:
$$-4x-1=0,$$
и имеет один корень, поэтому $$b=1$$ не подходит.
Итак,
$$b\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
$$(3b-2)x^2-(5b+2)x+5b-1=0$$
Если $$3b-2\neq 0$$, то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
$$D=(5b+2)^2-4(3b-2)(5b-1).$$
$$D=25b^2+20b+4-4(15b^2-13b+2).$$
$$D=25b^2+20b+4-60b^2+52b-8=-35b^2+72b-4.$$
Требуем $$D>0$$:
$$-35b^2+72b-4>0$$
$$35b^2-72b+4<0.$$
Найдём корни:
$$D_1=72^2-4\cdot 35\cdot 4=5184-560=4624,$$
$$\sqrt{4624}=68.$$
Тогда
$$b_1=\frac{72-68}{2\cdot 35}=\frac{2}{35},\qquad b_2=\frac{72+68}{2\cdot 35}=2.$$
Так как коэффициент при $$b^2$$ положительный, то
$$35b^2-72b+4<0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{2}{35}<b<2.$$
При $$3b-2=0$$, то есть при $$b=\frac23$$, уравнение становится линейным и имеет один корень, поэтому это значение исключаем.
Итак,
$$b\in\left(\frac{2}{35};\frac23\right)\cup\left(\frac23;2\right).$$
