Упр.120 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите, при каких значениях $$a$$ не имеет корней уравнение:
1) $$x^2-(a+5)x+9=0$$;
2) $$(a-2)x^2+5ax-3a=0$$;
3) $$(6a-12)x^2-(6a-12)x+5=0$$;
4) $$(a-3)x^2-2(a+2)x+2a-6{,}5=0$$.
1) Рассмотрим квадратное уравнение $$x^2-(a+5)x+9=0.$$
Оно не имеет корней, если дискриминант отрицателен:
$$D=(a+5)^2-4\cdot 1\cdot 9=(a+5)^2-36.$$
$$D<0 \iff (a+5)^2<36 \iff -6<a+5<6 \iff -11<a<1.$$
Ответ: $$a\in(-11;1).$$
2) Рассмотрим уравнение $$\left(a-2\right)x^2+5ax-3a=0.$$
Если $$a\ne 2,$$ то это квадратное уравнение. Его дискриминант:
$$D=(5a)^2-4(a-2)(-3a)=25a^2+12a(a-2)=37a^2-24a=a(37a-24).$$
Чтобы корней не было, нужно $$D<0,$$ то есть
$$a(37a-24)<0 \iff 0<a<\frac{24}{37}.$$
При $$a=2$$ уравнение становится линейным:
$$10x-6=0,$$
и имеет корень, значит $$a=2$$ не подходит.
Ответ: $$a\in\left(0;\frac{24}{37}\right).$$
3) Рассмотрим уравнение $$\left(6a-12\right)x^2-\left(6a-12\right)x+5=0.$$
Если $$a\ne 2,$$ то это квадратное уравнение. Его дискриминант:
$$D=\left(6a-12\right)^2-4\left(6a-12\right)\cdot 5$$
$$D=36a^2-264a+384=12\left(3a^2-22a+32\right).$$
Чтобы корней не было, нужно
$$3a^2-22a+32<0.$$
Найдём корни:
$$D_1=22^2-4\cdot 3\cdot 32=484-384=100,$$
$$a_{1,2}=\frac{22\pm 10}{6},\quad a_1=2,\quad a_2=\frac{16}{3}.$$
Тогда
$$3a^2-22a+32<0 \iff 2<a<\frac{16}{3}.$$
При $$a=2$$ уравнение становится линейным:
$$5=0,$$
что невозможно, значит $$a=2$$ тоже подходит.
Ответ: $$a\in\left[2;\frac{16}{3}\right).$$
4) Рассмотрим уравнение $$\left(a-3\right)x^2-2(a+2)x+2a-6{,}5=0.$$
Если $$a\ne 3,$$ то это квадратное уравнение. Его дискриминант:
$$D=\left[-2(a+2)\right]^2-4(a-3)(2a-6{,}5).$$
$$D=4(a+2)^2-4(a-3)(2a-6{,}5)=-4a^2+66a-62.$$
Чтобы корней не было, нужно
$$-4a^2+66a-62<0 \iff 2a^2-33a+31>0.$$
Найдём корни:
$$D_2=33^2-4\cdot 2\cdot 31=1089-248=841,$$
$$a_{1,2}=\frac{33\pm 29}{4},\quad a_1=1,\quad a_2=\frac{31}{2}=15{,}5.$$
Тогда
$$2a^2-33a+31>0 \iff a<1 \text{ или } a>15{,}5.$$
При $$a=3$$ уравнение становится линейным:
$$-10x-0{,}5=0,$$
и имеет корень, значит $$a=3$$ не подходит.
Ответ: $$a\in(-\infty;1)\cup(15{,}5;+\infty).$$
