Упр.120 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Найдите, при каких значениях $$a$$ не имеет корней уравнение:
- $$x^2+(a+1)x+1=0$$;
- $$(a-1)x^2-2ax+3a=0$$;
- $$(9-3a)x^2-(a-3)x+1=0$$;
- $$(a-2)x^2-2(a+1)x+3a+3$$.
1) Для уравнения $$x^2+(a+1)x+1=0$$ дискриминант равен
$$D=(a+1)^2-4=a^2+2a-3=(a+3)(a-1).$$
Чтобы уравнение не имело корней, нужно $$D<0$$:
$$(a+3)(a-1)<0 \;\Rightarrow\; -3<a<1.$$
2) Для уравнения $$(a-1)x^2-2ax+3a=0$$
$$D=(-2a)^2-4(a-1)\cdot 3a=4a^2-12a^2+12a=12a-8a^2=4a(3-2a).$$
Если $$a\ne 1,$$ то уравнение квадратное и не имеет корней при $$D<0$$:
$$4a(3-2a)<0 \;\Rightarrow\; a<0 \text{ или } a>\frac32.$$
При $$a=1$$ уравнение становится линейным:
$$-2x+3=0,$$
и имеет корень, значит $$a=1$$ не подходит.
Итак,
$$a\in(-\infty;0)\cup\left(\frac32;+\infty\right).$$
3) Для уравнения $$(9-3a)x^2-(a-3)x+1=0$$
$$D=(a-3)^2-4(9-3a)=a^2-6a+9-36+12a=a^2+6a-27=(a+9)(a-3).$$
Чтобы уравнение не имело корней, нужно
$$(a+9)(a-3)<0 \;\Rightarrow\; -9<a<3.$$
При $$a=3$$ уравнение становится линейным:
$$1=0,$$
что невозможно, значит $$a=3$$ тоже подходит.
Следовательно,
$$a\in(-9;3].$$
4) Для уравнения $$(a-2)x^2-2(a+1)x+3a+3=0$$
$$D=[-2(a+1)]^2-4(a-2)(3a+3)=4(a+1)^2-4(a-2)(3a+3).$$
Упростим:
$$D=4(a^2+2a+1)-4(3a^2-3a-6)= -8a^2+20a+28.$$
Чтобы уравнение не имело корней, нужно
$$-8a^2+20a+28<0.$$
Разделим на $$-4$$, изменив знак неравенства:
$$2a^2-5a-7>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=25+56=81,$$
$$a_{1,2}=\frac{5\pm 9}{4}, \quad a_1=-1,\; a_2=\frac72.$$
Тогда
$$2a^2-5a-7>0 \;\Rightarrow\; a<-1 \text{ или } a>\frac72.$$
При $$a=2$$ уравнение становится линейным:
$$-6x+9=0,$$
и имеет корень, значит $$a=2$$ не подходит, но это значение и так не входит в найденные промежутки.
Итак,
$$a\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac72;+\infty\right).$$
Ответ
1) $$a\in(-3;1)$$
2) $$a\in(-\infty;0)\cup\left(\frac32;+\infty\right)$$
3) $$a\in(-9;3]$$
4) $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac72;+\infty\right)$$
