Упр.120 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите, при каких значениях $$a$$ не имеет корней уравнение:
1) $$x^2+(a+2)x+4=0$$;
2) $$(a+1)x^2-3ax+4a=0$$;
3) $$(10-2a)x^2-(a-5)x+1=0$$;
4) $$(a+1)x^2-2(a-1)x+3a-3=0$$.
1) Для уравнения $$x^2+(a+2)x+4=0$$ дискриминант равен
$$D=(a+2)^2-4\cdot 1\cdot 4=a^2+4a-12.$$
Уравнение не имеет корней, если $$D<0$$:
$$a^2+4a-12<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$a^2+4a-12=0,$$
$$D_1=4^2-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64,$$
$$a_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2},\quad a_1=-6,\ a_2=2.$$
Тогда
$$-6<a<2.$$
Ответ: $$a\in(-6;2).$$
2) Для уравнения $$\left(a+1\right)x^2-3ax+4a=0$$ дискриминант равен
$$D=(-3a)^2-4(a+1)\cdot 4a=9a^2-16a^2-16a=-7a^2-16a.$$
Уравнение не имеет корней, если $$D<0$$:
$$-7a^2-16a<0,$$
$$7a^2+16a>0,$$
$$a(7a+16)>0.$$
Отсюда
$$a<-\frac{16}{7}\quad \text{или}\quad a>0.$$
Но при $$a=-1$$ уравнение становится линейным:
$$\left(a+1\right)x^2-3ax+4a=0 \;\Rightarrow\; 3x-4=0,$$
и корень есть. Значит, $$a=-1$$ нужно исключить.
Ответ: $$a\in\left(-\infty;-\frac{16}{7}\right)\cup(0;+\infty).$$
3) Для уравнения $$\left(10-2a\right)x^2-(a-5)x+1=0$$ дискриминант равен
$$D=(a-5)^2-4(10-2a)=a^2-10a+25-40+8a=a^2-2a-15.$$
Уравнение не имеет корней, если $$D<0$$:
$$a^2-2a-15<0.$$
Найдём корни:
$$a^2-2a-15=0,$$
$$D_1=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-15)=4+60=64,$$
$$a_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2},\quad a_1=-3,\ a_2=5.$$
Тогда
$$-3<a<5.$$
При $$a=5$$ уравнение становится линейным:
$$\left(10-2a\right)x^2-(a-5)x+1=0 \;\Rightarrow\; 1=0,$$
то есть корней нет. Значит, $$a=5$$ тоже подходит.
Ответ: $$a\in(-3;5].$$
4) Для уравнения $$\left(a+1\right)x^2-2(a-1)x+3a-3=0$$ дискриминант равен
$$D=\left[-2(a-1)\right]^2-4(a+1)(3a-3).$$
$$D=4(a-1)^2-4(3a^2-3)=4a^2-8a+4-12a^2+12=-8a^2-8a+16.$$
Уравнение не имеет корней, если $$D<0$$:
$$-8a^2-8a+16<0,$$
$$a^2+a-2>0.$$
Найдём корни:
$$a^2+a-2=0,$$
$$D_1=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$
$$a_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2},\quad a_1=-2,\ a_2=1.$$
Тогда
$$a<-2\quad \text{или}\quad a>1.$$
При $$a=-1$$ уравнение становится линейным:
$$\left(a+1\right)x^2-2(a-1)x+3a-3=0 \;\Rightarrow\; 4x-6=0,$$
и корень есть. Значит, $$a=-1$$ не подходит, но он и не входит в найденные промежутки.
Ответ: $$a\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty).$$
