Упр.118 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите систему неравенств:
1) $$\begin{cases} x^2-3x-10\le 0, \\ x>1; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} 3x^2-10x-8>0, \\ x\le 5; \end{cases}$$
3) $$\begin{cases} 2x^2-3x-9\le 0, \\ 2x-7\ge 0; \end{cases}$$
4) $$\begin{cases} x^2-5x-14\le 0, \\ 3x+6\le 0. \end{cases}$$
1) $$x^2-3x-10\le 0$$
$$D=3^2+4\cdot 10=49$$
$$x_1=\frac{3-7}{2}=-2,\quad x_2=\frac{3+7}{2}=5$$
$$x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$$
$$-2\le x\le 5$$
С учётом условия $$x>1$$ получаем:
$$x\in(1;5]$$
2) $$3x^2-10x-8>0$$
$$D=10^2+4\cdot 3\cdot 8=196$$
$$x_1=\frac{10-14}{6}=-\frac23,\quad x_2=\frac{10+14}{6}=4$$
$$3x^2-10x-8=3\left(x+\frac23\right)(x-4)$$
$$x<-\frac23 \text{ или } x>4$$
С учётом условия $$x\le 5$$ получаем:
$$x\in\left(-\infty;-\frac23\right)\cup(4;5]$$
3) $$2x^2-3x-9\le 0$$
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 9=81$$
$$x_1=\frac{3-9}{4}=-\frac32,\quad x_2=\frac{3+9}{4}=3$$
$$2x^2-3x-9=(2x+3)(x-3)$$
$$-\frac32\le x\le 3$$
Второе неравенство:
$$2x-7\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac72$$
Пересечение множеств решений пусто:
$$x\in\varnothing$$
4) $$x^2-5x-14\le 0$$
$$D=5^2+4\cdot 14=81$$
$$x_1=\frac{5-9}{2}=-2,\quad x_2=\frac{5+9}{2}=7$$
$$x^2-5x-14=(x+2)(x-7)$$
$$-2\le x\le 7$$
Второе неравенство:
$$3x+6\le 0 \Rightarrow x\le -2$$
Пересечение:
$$x=-2$$
5) $$x^2-x-6\ge 0$$
$$D=1^2+4\cdot 6=25$$
$$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\quad x_2=\frac{1+5}{2}=3$$
$$x^2-x-6=(x+2)(x-3)$$
$$x\le -2 \text{ или } x\ge 3$$
Второе неравенство:
$$x^2-x-30<0$$
$$D=1^2+4\cdot 30=121$$
$$x_1=\frac{1-11}{2}=-5,\quad x_2=\frac{1+11}{2}=6$$
$$x^2-x-30=(x+5)(x-6)$$
$$-5<x<6$$
Пересечение:
$$x\in(-5;-2]\cup[3;6)$$
6) $$x^2-4x-12\le 0$$
$$D=4^2+4\cdot 12=64$$
$$x_1=\frac{4-8}{2}=-2,\quad x_2=\frac{4+8}{2}=6$$
$$x^2-4x-12=(x+2)(x-6)$$
$$-2\le x\le 6$$
Второе неравенство:
$$x^2-6x-7<0$$
$$D=6^2+4\cdot 7=64$$
$$x_1=\frac{6-8}{2}=-1,\quad x_2=\frac{6+8}{2}=7$$
$$x^2-6x-7=(x+1)(x-7)$$
$$-1<x<7$$
Пересечение:
$$x\in(-1;6]$$
Ответ
1) $$x\in(1;5]$$; 2) $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right)\cup(4;5]$$; 3) $$x\in\varnothing$$; 4) $$x=-2$$; 5) $$x\in(-5;-2]\cup[3;6)$$; 6) $$x\in(-1;6]$$.
