Упр.117 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения функции:
   1. $$y=\sqrt{x^2+7x-18}$$;
   2. $$y=\frac{3x-7}{\sqrt{5x+10x^2}}$$;
   3. $$y=\sqrt{2x^2-5x+2}+\frac{8}{x^2-9}$$;
   4. $$y=\frac{x+14}{\sqrt{12-17x-7x^2}}-\frac{x-14}{3x^2+5x-2}$$.

1) $$y=\sqrt{x^2+7x-18}$$

Выражение имеет смысл при

$$x^2+7x-18\ge 0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2+7x-18=0$$:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-18)=49+72=121,$$

$$x_1=\frac{-7-11}{2}=-9,\qquad x_2=\frac{-7+11}{2}=2.$$

Тогда

$$(x+9)(x-2)\ge 0,$$

откуда

$$x\in(-\infty;-9]\cup[2;+\infty).$$

2) $$y=\frac{3x-7}{\sqrt{5x+10x^2}}$$

Знаменатель должен быть определён и не равен нулю, значит

$$5x+10x^2>0.$$

Преобразуем:

$$5x(1+2x)>0,$$

$$x(2x+1)>0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-\tfrac12)\cup(0;+\infty).$$

3) $$y=\sqrt{2x^2-5x+2}+\frac{8}{x^2-9}$$

Для корня нужно:

$$2x^2-5x+2\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,$$

$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

Тогда

$$\left(x-\tfrac12\right)(x-2)\ge 0,$$

то есть

$$x\in(-\infty;\tfrac12]\cup[2;+\infty).$$

Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в нуль:

$$x^2-9\ne 0,\qquad x\ne \pm 3.$$

Пересекаем условия:

$$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;\tfrac12]\cup[2;3)\cup(3;+\infty).$$

4) $$y=\frac{x+14}{\sqrt{12-17x-7x^2}}-\frac{x-14}{3x^2+5x-2}$$

Для первого выражения нужно:

$$12-17x-7x^2>0,$$

то есть

$$7x^2+17x-12<0.$$

Найдём корни:

$$D=17^2+4\cdot 7\cdot 12=289+336=625,$$

$$x_1=\frac{-17-25}{14}=-3,\qquad x_2=\frac{-17+25}{14}=\frac47.$$

Тогда

$$(x+3)\left(x-\tfrac47\right)<0,$$

откуда

$$-3<x<\tfrac47.$$

Для второго знаменателя:

$$3x^2+5x-2\ne 0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49,$$

$$x_1=\frac{-5-7}{6}=-2,\qquad x_2=\frac{-5+7}{6}=\frac13.$$

Значит,

$$x\ne -2,\qquad x\ne \frac13.$$

Итак, область определения:

$$x\in(-3;-2)\cup(-2;\tfrac13)\cup(\tfrac13;\tfrac47).$$